考虑温度影响的斜拉索参数振动模型及响应分析

汪 峰,陈福青,文晓旭,彭 章

(三峡大学 土木与建筑学院,湖北 宜昌 443002 )

考虑温度影响的斜拉索参数振动模型及响应分析

汪 峰,陈福青,文晓旭,彭 章

(三峡大学 土木与建筑学院,湖北 宜昌 443002 )

研究超长斜拉索在非均匀温度场和桥面激励联合作用下的振动问题。考虑斜拉索几何非线性和大气梯度温度场的影响,将温度场力作为斜拉索振动的边界条件,提出了梯度温度场和桥面激励联合作用下的斜拉索参数振动模型。基于伽辽金模态截断理论,推导了斜拉索面内主参数振动方程,利用多尺度法获得了温度和桥面联合激励作用下的斜拉索幅频响应方程,并编制程序进行数值计算,分析了梯度温度场、调谐值、桥面激励幅值和阻尼对其参数振动的影响规律。结果表明：梯度温度场中的斜拉索振动亦具有明显的硬弹簧特性,随着调谐值的增大,幅频响应曲线逐渐弯曲成直角,引起多值响应。温度场中拉索振动有明显的“拍”特征,随着温度升高,斜拉索参数共振区域逐渐增大,温度和桥面联合激励下的拉索振幅比单一桥面激励振幅要小；随着桥面激励幅值的增大,拉索共振区和振动幅值均明显增大,但共振区和振幅随阻尼增大而减小。

桥梁工程；超长斜拉索；温度场；桥面激励；非线性振动

0 引 言

近年来,随着斜拉桥跨度的不断增大,斜拉索越来越纤细,桥塔也越来越高耸。在恶劣的自然环境中,作为斜拉桥的主要承重构件,斜拉索在桥塔或桥面的激励作用下极易发生大幅参数振动[1-2]。与风雨激振不同,斜拉索参数振动时,桥塔或者桥面激励是作为随时间变化的参数出现在斜拉索的振动系统中。由于密索体系的现代大跨度斜拉桥拉索固有频率小且分布范围广,与较低基频的桥面梁或桥塔容易形成参数共振条件[3-4],例如1997年我国香港汲水门大桥斜拉索曾在严酷的气象条件下出现了高幅振动[5]。

斜拉索参数振动控制一直是桥梁界研究的热点,国内外学者针对端部激励下的拉索振动开展了广泛研究。徐明骁等[6]以一座大跨度三塔斜拉桥为例,通过有限元和数值积分两种方法,研究了激励频率、激励振幅、阻尼对拉索参数振动的影响,发现当索的频率和全桥频率成一定比率时,极易发生大幅度参数振动；汪志刚等[7]认为斜拉索是处于强迫振动和参数振动的混合状态,且当斜拉索自身频率与桥面自振频率成一定比例时,会引起拉索大幅参数振动；赵跃宇等[8]建立了端部轴向激励下的斜拉索振动方程,采用多尺度法分析了斜拉索的参数振动特性及其稳定性,发现端部激励幅值对斜拉索稳态振动的形态有较大影响；Y.Fujino等[9]，F.Enedettini等[10]，V.Gattulliv等[11]和孙测世等[12]分别对斜拉索端部激励下的振动特性进行了研究。

汪峰等[13]前期研究了均匀温度场中拉索受桥面激励作用的振动规律。但在工程实际中,拉索为钢缆,一端锚固于数百米高的桥塔之上,如苏通大桥塔高达到300 m；另一端锚固在相对位置低的主梁上。由于两锚固端存在较大高差,在日照、风等环境因素作用下,斜拉索处于非均匀变化的温度场中,温度变化一定程度上会影响索结构的振动特性[14]。因此,为更加实际地反映斜拉索受力情况,研究梯度温度和桥面激励联合作用下斜拉索非线性振动行为显得十分重要。

基于上述研究,笔者考虑斜拉索几何非线性和大气梯度温度场的影响,将温度场力作为斜拉索振动的边界条件,建立梯度温度场和桥面激励联合作用下的斜拉索参数振动模型。基于伽辽金模态截断理论,推导温度和桥面联合激励作用下的斜拉索面内运动方程和幅频响应方程。利用数值计算方法分析梯度温度场、调谐值、桥面激励幅值和阻尼对其参数振动的影响规律。研究成果可为大跨度斜拉桥超长拉索振动的抑振和控制提供理论依据。

1 温度场中拉索振动方程建立

图1为考虑梯度温度的斜拉索在桥面激励作用下参数振动模型。斜拉索的振动机理十分复杂,建立温度和桥面联合激励下的斜拉索非线性振动模型时。为较准确地反映出拉索参数振动的一些基本特性,作如下假设：①不考虑斜拉索的抗弯、抗扭和抗剪刚度；②索的应力应变关系服从胡克定律；③索的线形选取二次抛物线。

图1 温度场中受桥面激励作用的斜拉索振动模型Fig.1 Model of cable vibration under deck excitation in temperature field

考虑斜拉索几何非线性和梯度温度的影响,在车辆作用下，弹性支撑在拉索上的桥面梁简化为谐扰激励,索段振动方程为

(1)

式中：v为拉索横向振动位移；y为拉索初始垂度；F为考虑温度变化影响的斜拉索切向初拉力；f为斜拉索的附加切向动拉力；s为斜拉索平面内弧长坐标；m为拉索单位长度质量；c为索的阻尼系数；θ为拉索倾角。

大跨度斜拉桥拉索精确线型实为悬链线,为便于计算,笔者选取二次抛物线作为拉索的初始线型,索跨中垂度为d,斜拉索的弦向初拉力为H,弦向附加动拉力为h,则：

(2)

(3)

研究表明：大气温度随高度升高而递减,气温的垂直变化与高度有着较吻合的线性关系,这种关系的系数称为温度垂直递减率,递减率的平均变化幅度为0.6 ℃/100m左右[15],因此假定处于大气中的斜拉索温度场分布模式为

(4)

式中：τ0为初始温度,即斜拉索在桥面锚固端的温度；τ1为温度变化系数。

工程实际中,斜拉索处于非均匀温度场中,拉索两端的温差会导致斜拉索伸长或缩短,进而产生温度应力。由式(4)可得斜拉索所受温度应力为

(5)

式中：r为斜拉索的热膨胀系数；Le斜拉索的索长；E为拉索弹性模量；A为拉索横截面积。

依据拉索静力平衡条件,并将式(3)、式(5)代入式(1)可得

(6)

斜拉索与主梁端部位移取为Zb=Abcosω0t,由于斜拉索振动时其一阶模态影响最大[4],笔者只考虑斜拉索的一阶振动模态,取拉索横向振动位移为

(7)

忽略拉索轴向应变平方项的影响,得拉索动应变：

(8)

由式(3)和式(8)可得拉索弦向动拉力h：

(9)

为计算h,先令式(9)的分母为Le,并在y'=0处按照泰勒公式展开,取前3项积分可得

然后对式(9)积分可得

(10)

最后利用伽辽金模态截断,将式(7)、式(10)代入式(6),化简积分后可得到温度和桥面联合激励下的斜拉索参数振动方程：

(11)

式(11)中：

式中：c为拉索阻尼系数；ξ为拉索模态阻尼比；ω0为不考虑垂度效应的斜拉索基频；ω1为考虑垂度效应,初始平衡位置和梯度温度影响的斜拉索基频；α1，α2为斜拉索初始条件影响参数；α3为斜拉索的频率修正系数；λ为斜拉索的Irvine系数；n2，n3为斜拉索的参数振动部分；n4为温度影响系数；n5，n6分别为振动二次项和三次项的非线性影响系数；k1，k2,k3为桥面激励引起的强迫振动部分。

从式(11)中可知,斜拉索的振动状态实际上是参数振动和强迫振动的混合。

2 拉索主参数共振理论解

当桥面或桥塔激励作为随时间变化的参数出现在斜拉索的振动系统中,且激励频率接近拉索派生系统固有频率的2倍时,斜拉索将发生主参数共振。为求解斜拉索在桥面激励下斜拉索的非线性振动理论解,基于多尺度法,首先在阻尼项、非线性项、激励项前冠以小参数ε,式(11)转化为

(12)

引入调谐参数σ,由式(13)确定：

ωb=2ω1+εσ， σ=O(1)。

(13)

采用慢变和快变两个时间尺度,研究主参数共振的一次近似解,设

V(t)=V0(T0,T1)+εV1(T0,T1)。

(14)

将式(14)代入式(12),通过ε同次幂的系数比较,可以获得一组线性微分方程：

(15)

cos(2ω1T0+ εσT1)-n3V0cos2(2ω1T0+ εσT1)-

εσT1)-k3cos(2ω1T0+ εσT1)。

(16)

方程(15)的解为

(17)

式中：a为模态振幅;β为共振初相位角。

(18)

将式(17)代入式(16),消除久期项的条件为

(19)

将式(18)代入式(19),得

(20)

分离实部、虚部得

式(21)就是一次近似解的慢时变a和初相位β应满足的微分方程,令φ=σT1-2β,则方程转化为自治微分方程组：

令D1a=0,D1φ=0,可得拉索共振常定解的代数方程组：

式(23)消去φ,得到斜拉索主参数共振的幅频响应方程：

(24)

3 数值计算与分析

基于上述斜拉索振动幅频方程,运用MATLAB软件编制程序,计算分析温度场、桥面激励幅值和阻尼等因素对斜拉索参数振动的影响。数值计算时,以某实际大跨度斜拉桥最长拉索为例,其结构参数为：索长L=341.899m,索力H=5 197.17kN,面积A=0.010 218 54m2,弹性模量E=1.9E11N/m2,质量m=96.074kg/m,阻尼比ξ=0.001,拉索倾角θ=27.597°,拉索热膨胀系数取1.89E-5,桥面激励幅值Ab=0.05m。

首先选取3种不同初始温度τ0,对比分析频率调谐值σ和拉索振幅a之间的变化情况,如图2。大气温度垂直递减率的平均变化幅度为0.6 ℃/100m,考虑拉索两端锚固点高差和极端气象条件,温度影响系数τ1=1.5 ℃。

图2 不同初始温度τ0时斜拉索频幅响应Fig.2 Amplitude-frequency response under different initialtemperatures τ0

由图2可知,随着初始温度τ0升高,系统主参数共振区增大；对于下支幅值曲线,系统振动幅值随初始温度的增加而减小,3种不同初始温度下系统振动区域在上半支曲线有交叉现象,调谐值减小达到一定值时,初始温度大的振动幅值大于温度小的幅值。温度场中的斜拉索亦具有明显的硬弹簧特性,随着调谐值的增大,幅频响应曲线逐渐弯曲成直角,导致多值响应,进而引发“跳跃”现象。

改变索端桥面激励幅值,考虑振幅与调谐值之间的关系。图3为初始温度τ0=20 ℃,温度影响系数τ1=1.5 ℃,阻尼比系数ξ=0.001,桥面激励幅值Ab分别为0.001,0.05,0.1 m时对应的幅频曲线。

图3 不同激励幅值时斜拉索频幅响应Fig.3 Amplitude-frequency response under different excitation values (τ0=20 ℃,τ1=1.5 ℃)

由图3可知,在该温度模式下,斜拉索主参数共振随着桥面激励幅值的增大而明显增大,整个幅频曲线胖了一圈；对于振幅而言,上支曲线幅值增大,下支曲线幅值减小。图3中箭头表示拉索振动响应幅度的演变路径,桥面激励幅值强度对于温度场中的斜拉索振动影响较大。

图4为初始温度τ0=20 ℃,温度影响系数τ1=1.5 ℃,桥梁激励幅值为0.05 m,选取3种斜拉索阻尼比系数ξ,分别为0.000 1,0.001,0.005代入幅频曲线方程,分析不同阻尼比下的斜拉索主参数共振响应。

图4 不同阻尼比时斜拉索频幅响应Fig.4 Amplitude-frequency response under different damping ratios

由图4可知,在梯度温度场中,阻尼从0.000 1增大到0.001时,拉索共振区只是稍稍变窄,当阻尼增大到0.005时,共振区明显收窄,整个幅频曲线瘦了一大圈。因此,拉索共振区域随阻尼的增大呈减小趋势,但对于振幅而言,上支曲线振幅减小,下支曲线幅值增大。

图5为不同条件下拉索振动历程曲线(温度条件同图4)。

图5 拉索振动历程曲线Fig.1 Cable vibration history curve

由图5(a)可知,不考虑温度场作用时,拉索由初始位置开始振动,200 s后拉索振幅逐渐增大,450 s时达到第1个响应峰值,振幅达到2.559 m。

由图5(b)、(c)可知,拉索达到最大振幅所经历的时间缩短,温度场中拉索振动亦有明显的“拍”特征,但温度和桥梁激励联合作用下拉索振幅比单一桥面激励作用时振幅明显要小,仅为0.07 m。分析其原因由振动方程式(11)和幅频方程式(24)可知,非均匀温度和桥面激励联合作用下,拉索的固有频率ω1随着温度的升高而减小,导致拉索具有较强的非线性,且振幅减小。

由图5(b)、(c)、(d)可知,当阻尼ξ由0.001增大到0.01时,拉索振幅有减小趋势,说明增大阻尼可抑制拉索振动。

由图5(b)、(c)、(e)可知,随着桥面激励幅值Ab由0.05 m增加到0.1 m,拉索振动幅值明显增大,桥面激励幅值对拉索振动影响较大。工程实际中,应该适当控制桥面振幅。

4 结 论

将温度场力作为斜拉索振动的边界条件,建立了梯度温度场和桥面激励联合作用下的超长斜拉索参数振动模型,研究了非均匀温度场中斜拉索的参数振动特性及其影响因素，得到如下结论。

1) 梯度温度场中拉索振动亦有明显的“拍”特征,随着温度升高,拉索的主参数共振区域增大,但温度和桥面联合激励下的拉索振幅比单一桥面激励振幅要小；

2) 桥面激励强度对拉索振动影响较大,斜拉索参数共振区和振动幅值均随着桥面激励幅值的增大而明显增大；

3) 温度场中的斜拉索参数共振区随着阻尼的增大呈减小趋势,增大阻尼可以抑制斜拉索的振动；

4) 梯度温度场中的斜拉索振动具有明显的硬弹簧特性,随着调谐值的增大,幅频响应曲线逐渐弯曲成直角,引起拉索出现多值响应。

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Analysis of Cable Parametric Vibration Model and Response with Consideration of Temperature Effect

WANG Feng, Chen Fuqing, WEN Xiaoxu,PENG Zhang

(College of Civil Engineering & Architecture, China Three Gorges University, Yichang 443002, Hubei, P. R. China)

The vibration of super-long cable under joint effect of non-uniform temperature field and deck excitation was analyzed.A model of cable parametric vibration under the joint effect of gradient temperature field and deck excitation was set up by considering the impacts of cable nonlinearity and atmospheric gradient temperature field and taking force of temperature field as the boundary of cable vibration. Based on Galerkin method, the main parametric vibration equation within cable plane was developed and the equation of cable amplitude-frequency response under joint excitation of temperature and deck was obtained by means of multi-scale method. Program for numerical computation was prepared and the law of influences on their parametric vibrations imposed by gradient temperature field, detuning value and deck excitation amplitude was analyzed and explored. The results show that the cable vibration in gradient temperature field is of apparent hard spring nature. With the increased detuning the amplitude-frequency response curve gradually changed to straight angle and multiple-responses were caused. The cable vibration in the temperature field bears feature of “patting”. With the increase of temperature the cable parametric resonance area gradually expanded. The cable vibration amplitude under joint excitation of temperature and deck is lower than that of single cable plane. With the increased deck excitation amplitude, both the cable resonance area and vibration value increased notably. However, the resonance area and vibration amplitude decrease with increased damping.

bridge engineering; super-long stayed cable; temperature field; deck excitation; nonlinear vibration

10.3969/j.issn.1674-0696.2016.02.01

2015-04-03；

2015-07-16

国家自然科学基金项目(51278282)；道路桥梁与结构工程湖北省重点实验室(武汉理工大学)开放课题基金项目(DQJJ201507)；三峡大学2014年硕士创新基金项目(2014CX017)

汪 峰(1979—)男，湖北黄冈人，副教授，博士，主要从事大跨度桥梁结构非线性计算方面的研究。E-mail:wanggoody@126.com。

U448.27

A

1674-0696(2016)02-001-05