大容量永磁偏置型故障限流器的经济性分析与优化

邹 亮 ，伍珈乐 ，刘 涛 ，赵 彤 ，张 黎

（1.山东大学 山东省特高压输变电技术与装备重点实验室，山东 济南 250061；2.华北电力大学 新能源电力系统国家重点实验室，北京 102206）

0 引言

随着我国电力系统容量和规模的不断扩大，如何限制不断攀升的短路电流水平成为电网发展中一个不可回避的重大技术和经济问题［1-3］。近年来，由永磁体、软磁铁芯和铜绕组构成的永磁偏置型故障限流器 PMFCL（Permanent-Magnet-biased saturation based Fault Current Limiter），因具有较好的应用前景而逐渐受到关注。从限流原理分析，当系统正常运行时，铁芯因永磁体产生的强大直流偏置磁场而处于深度饱和状态，此时PMFCL对外表现为低感抗；当系统出现短路故障时，电流激增使绕组产生足以抵消永磁体的磁动势，铁芯工作点将从饱和区进入线性区域，此时限流器对外表现为高感抗，从而起到限流作用。PMFCL结构简单，无需外加电源和控制装置即可实现自动投切，响应时间快且具有自恢复能力，通过合理的拓扑结构设计可实现较好的性能，是集检测、转换和限流功能于一体的常规材料型故障限流技术［4-6］。

国内外许多学者已对PMFCL开展了仿真与实验研究，但多侧重于限流器拓扑结构设计和磁特性研究等技术性问题，且主要面向低压小短路电流场合。文献［7-8］提出了一种永磁并联偏置方式的“日”字形磁路结构，文献［9-10］提出了一种“口”字形磁路拓扑，文献［11］提出了一种直线式PMFCL拓扑结构。文献［12］建立了以饱和深度比、电感比与电感和为基本变量的PMFCL结构参数设计及优化算法。文献［13］研究了直线式PMFCL的漏磁效应问题，并进行了实验验证。

无论何种故障限流器，其只有安装在220 kV及以上电压等级的电网中，即实现高压大容量化，才能真正体现其工程应用价值。随着电压等级的提高，限流器的材料成本将大幅增加，各种运行损耗产生的附加费用亦不可忽略，可见大容量限流器的经济性比技术性更加主导其应用价值。因此，建立大容量限流器的经济性分析模型，并将其成本与结构参数、电磁变量等结合起来，实现技术性与经济性的综合优化，是限流器实现高压大容量化的关键。然而，目前国内外鲜有研究限流器经济性问题的文献。

本文基于表征PMFCL特性的电感比、电感和以及饱和深度比3个独立电磁变量，建立了其经济性分析模型，提出一种将PMFCL经济性优化转化为3个电磁变量优化组合问题的方法。结合500 kV限流器经济性分析实例，分析了电磁变量对PMFCL经济性的影响，并求得PMFCL最优成本及对应的结构参数。最后通过有限元仿真验证了经济性优化计算结果的合理性。

1 PMFCL经济性分析模型

本文选用直线式PMFCL研究其经济性，磁拓扑如图1所示。直线式PMFCL由2对相互配合的铁芯、缠绕在铁芯上的绕组以及配置在铁芯两端的永磁体组成，左右2组分别用来限制正、负半波的短路电流［11-13］。这种拓扑中永磁体和铁芯的结构参数相对独立，便于进一步设计与优化。

由于PMFCL的结构与油浸式变压器类似，本文引入评价变压器经济效益的总拥有费用TOC（Total Owning Cost）［14-15］法，将 PMFCL 的总拥有费用定义为其材料成本与运行成本之和，而忽略在规划、制造、安装和维修等过程中产生的其他费用。故单相半波PMFCL的经济性分析模型为：

其中，W为PMFCL的总拥有费用（万元）；Wx和Wy分别为其材料成本和运行成本（万元）。则单相全波PMFCL的总费用为2 W，三相全波PMFCL的总费用为6 W。

下面分别建立单相半波PMFCL材料成本Wx和运行成本Wy的数学模型。

图1 直线式PMFCL拓扑结构Fig.1 Topological structure of straight-ine PMFCL

1.1 材料成本Wx

由于绕组的用量和单价均远低于永磁体和铁芯，故绕组产生的费用忽略不计，定义PMFCL的材料成本Wx为永磁体与铁芯所耗费用之和。可知，在单位体积造价不变的前提下，PMFCL的材料成本仅与永磁体和铁芯的体积有关，其数学模型如下：

其中，αm和αe分别为永磁体和铁芯的材料成本系数，表示单位体积的造价（万元／m3）；Vm和 Ve分别为永磁体和铁芯的体积（m3）。

Vm和Ve可由PMFCL的4个关键结构参数，即永磁体等效磁路长度lm、铁芯等效磁路长度le、永磁体截面积Sm和铁芯截面积Se确定，故式（2）可改写为：

因此，PMFCL材料成本建模的基本思路为依据等效磁路法，并参照永磁体、软磁铁芯的磁性参量及线路的电气参量，导出PMFCL的4个关键拓扑参数的数学表达式。

为简化分析，首先作如下假设：磁场在软磁铁芯及永磁体内均匀分布，且忽略漏磁通的影响；铁芯B-H曲线近似为三折线型，且不计铁芯磁滞效应的影响；各媒质均为各向同性磁媒质，且忽略时变场频率的影响。

现以PMFCL限制正半波故障电流的过程为例展开分析。根据安培环路定律可知：

其中，N为半波限流绕组匝数；i为绕组电流；H′c=Br／μm，为永磁体计算矫顽力，Br为永磁体剩磁，μm为永磁体的回复系数；Rm=lm／（μmSm）为永磁体的磁阻；φm为通过永磁体的磁通；He为铁芯磁场强度。

根据磁通连续性原理，可认为通过铁芯的磁通量φe与φm近似相等。考虑到PMFCL工作于工频交流系统中，i、φm及 He均为时间 t的函数，将式（4）对t求导并结合磁参量φe与He间的关系可推出限流绕组两端的感应电压u为：

其中，μ为铁芯磁导率。因此，半波限流器的饱和电感Ls与不饱和电感Lu的表达式分别为：

其中，Rs=le／（μsSe）为铁芯的饱和磁阻，μs为铁芯的饱和磁导率；Ru=le／（μuSe）为铁芯的不饱和磁阻，μu为铁芯的不饱和磁导率。 考虑到 μu≫μm、Ru≪Rm，故式（7）可改写为：

在工作过程中，PMFCL共表现出3种能力：短路电流限制能力、铁芯在正向饱和态与不饱和态之间的转换能力以及永磁体对铁芯的磁偏置能力。以上3种能力可分别用电感和变量ρ、电感比变量λ及饱和深度比变量Ks3个独立电磁变量表征，定义式分别为：

其中，Be|i=0为绕组电流为零时铁芯的磁感应强度；Bs为铁芯的饱和磁感应强度。将式（6）与式（8）代入电感比变量定义式（10）中可得：

当绕组电流为零时，铁芯工作于饱和区，磁场强度He可表示为：

联立式（4）和式（13），并令 i=0 且忽略 Ru的影响，可导出 Se／Sm与 λ、Ks间的关系：

其中，Br为永磁体剩磁。

此外，为将前述PMFCL的3种能力均控制在合理的范围之内，特定义2个边界条件变量：可限制的最大短路电流imax和可限制的最小短路电流imin。当短路电流超过imax时，将导致铁芯达到反向饱和状态，使限流器丧失限流能力；当短路电流低于imin时，刚好使铁芯退出正向饱和状态而开始限流。利用式（4）可导出imax和imin的表达式分别为：

基于上述分析，联立式（8）—（10）及式（12）—（16），可建立PMFCL的4个关键结构参数与3个独立电磁变量间的函数关系［12］为：

将式（17）—（20）代入式（3），得单相半波 PMFCL的材料成本为：

由式（21）知，PMFCL 的材料成本是 ρ、λ 和 Ks的函数，材料成本的优化可转化为这3个独立电磁变量的优化组合问题。

1.2 运行成本Wy

PMFCL的运行成本Wy定义为在其寿命期内产生总损耗所对应的费用，寿命期通常选取为20～30 a。由PMFCL的工作原理可知，总损耗应为铁芯损耗和绕组铜耗之和，故PMFCL运行成本的表达式为：

其中，P0和Pk分别为PMFCL的铁芯损耗和绕组铜耗（kW）；β0和βk分别为铁芯和绕组的运行成本系数，分别表征在整个运行寿命内每kW铁芯损耗和绕组铜耗的等值费用（万元／kW）。

下文分别分析PMFCL铁芯损耗和绕组铜耗的组成。

1.2.1 铁芯损耗

依据Bertottti铁芯损耗分离计算模型［16-17］，在不考虑集肤效应的条件下，PMFCL的铁芯损耗可由式（23）得出。

其中，Ph、Pec和Pex分别为单位质量的磁滞损耗、涡流损耗和附加损耗（W／kg）；B0为铁芯的磁感应强度幅值，由于系统正常工作时铁芯处于深度饱和状态，故可选取 B0=（1.05～1.2）Bs；ρe为铁芯的密度；Kh、Kec、x、Kex为与铁芯材料有关的系数，可通过损耗特性曲线拟合得到。

因此，当铁芯材料和单位质量的损耗确定后，铁芯损耗就是铁芯体积Ve的函数。

1.2.2 绕组铜耗

对于大容量PMFCL，其绕组铜耗主要由绕组直流电阻损耗和绕组在漏磁场下的涡流损耗两部分组成。由于后者所占比重很小，故可认为绕组铜耗近似等于直流电阻损耗。参考变压器绕组损耗计算方法［18-19］，得到PMFCL绕组铜耗的计算公式为：

其中，Pk为绕组的直流电阻损耗；I为正常运行时流过绕组的负荷电流；Rc为绕组的直流电阻，由绕组导线尺寸和材料的物理参数决定；lc和Sc分别为导线的长度和截面积；ρc为温度为t时铜的电阻率。

已知 15℃ 时铜的电阻率 ρ15=1.75×10-8Ω·m，则ρc与ρ15的换算关系如下：

此处需将直流电阻损耗矫正到75℃温度下。令t=75，并将式（25）和式（26）代入式（24），可得：

由式（27）可知，在导线选型、绕组匝数以及绕组电流均确定的条件下，绕组铜耗Pk仅与铁芯截面积Se有关。

综合铁芯损耗费用和绕组铜耗费用，单相半波PMFCL的运行成本可进一步表示为：

可知，硅钢片与绕组导线型号选定之后，系统正常工作时，PMFCL的运行成本仅与铁芯等效磁路长度le和铁芯截面积Se相关。

将式（28）和式（21）代入式（1）可得单相半波PMFCL的经济性分析模型。可知，在材料选型一定的条件下，PMFCL的总拥有费用W是4个关键结构参数的函数，受电磁变量ρ、λ和Ks的影响。因此，PMFCL的经济性优化可转化为3个独立电磁变量的优化组合问题。

2 PMFCL经济性分析实例

2.1 参数设置

参考华东电网500 kV限流器示范工程［20-23］，建立如图2所示的单电源系统模型。系统相电压有效值 Uss=288.68 kV，频率 f=50 Hz，电源内阻抗 Zss=0.49+j5.64 Ω，系统正常运行时的线路负荷电流为2 kA，故障后的短路电流稳态有效值为51 kA。

图2 串联PMFCL的单电源系统模型Fig.2 Single-source system model with serial PMFCL

绕组选择型号为ZB5.60×13.20-0.45的纸包扁铜线，则并绕根数为8时的导线等效截面积Sc=591.36 mm2，绕组匝数N=100。铁芯选用冷轧取向硅钢DW540-50，永磁体选用钕铁硼N35，相关磁性参数如表1所示。已知材料密度和市场单价，可换算得到铁芯和永磁体的材料成本系数，如表2所示。

表1 PMFCL的磁性参数Table 1 Magnetic parameters of PMFCL

表2 PMFCL的材料成本系数Table 2 Material cost coefficients of PMFCL

因目前缺乏PMFCL的实际运行数据，参考各国变压器的空载损耗与负载损耗情况［14］，选取PMFCL的运行成本系数 β0和 βk分别为4.87万元／kW 和2.05万元／kW。

2.2 电磁变量对PMFCL经济性的影响

为便于将PMFCL经济性与华东电网限流器示范工程进行对比分析，设定两者的限流能力相同，均可将有效值为51 kA的短路电流限制到20 kA。PMFCL限流能力确定后，意味着其电感和变量ρ也就确定了。为避免铁芯反向饱和而失去限流能力，设计PMFCL时应留有一定裕量，将可限制的最大短路电流imax设定为限流后短路电流峰值的1.2倍：

其中，Rss、Lss分别为电源的等效电阻与电感；Rc为限流器的绕组电阻，鉴于PMFCL的铁芯截面积Se约为2m2，为便于计算，依据式（25）取其近似值0.02Ω。

由此据式（29），可得 PMFCL 的电感和 ρ=27.96 mH。

在电感和ρ确定的基础上，可分别得到PMFCL材料成本Wx和总拥有费用W随电感比λ、饱和深度比Ks的变化曲线，分别如图3和图4所示。

由图3可知，PMFCL材料成本Wx随电感比λ的增大而升高，随饱和深度比Ks的变化趋势与λ的取值大小有关。当λ取值较小时，Wx随λ的增大而升高；而当λ取值较大时，Wx随Ks的增大呈现先降低后升高的趋势。因此，为了降低PMFCL的材料成本，应尽可能减小λ。

图3 Wx随 Ks、λ 的变化曲线Fig.3 Variation curves of Wxvs.Ksand λ

由图4可知，PMFCL的总拥有费用W随饱和深度比Ks的增大而降低，随电感比λ的增大而升高。当Ks取值较小时，W随电感比λ的增大基本呈线性增长；当Ks取值较大时，λ取值对W的影响很小。因此，为了降低PMFCL的总拥有费用，应尽可能地减小λ，并合理增大Ks。

图4 W随Ks、λ的变化曲线Fig.4 Variation curves of W vs.Ksand λ

2.3 PMFCL经济性优化

针对高压大容量PMFCL的经济性优化，需考虑以下几个问题。

（1）PMFCL作为串联设备，应尽量减小其对系统正常运行的影响，在保证限流能力的前提下，应确保其工作压降小于线路额定压降的5%［7］。在本实例中，结合前面计算所得电感和变量ρ的大小以及电感比变量λ的定义，可初步得到λ的取值范围为λ≥0.43。

（2）imin是使PMFCL由低阻抗切换到高阻抗，即启动限流的重要阈值。若imin过小且接近额定电流，可能发生误动现象；若imin过大且接近系统短路电流，则可能发生拒动现象，应确保既不拒动且不误动。综合考虑系统额定负荷电流和预期短路电流，设定imin的取值范围为5 kA≤imin≤10 kA。

（3）考虑软磁铁芯的制造工艺和装配难易程度，要求铁芯等效磁路长度le不超过25 m。

（4）考虑软磁铁芯、永磁体和交流绕组的尺寸配合问题，要求软磁铁芯长度le／2大于永磁体宽度与交流绕组高度hc之和，并留有一定的裕度。

以单相半波PMFCL的材料成本Wx和总拥有费用W最小作为目标函数：

并得到PMFCL的经济性优化边界条件为：

根据上述目标函数和边界条件，对PMFCL进行经济性优化。计算结果显示，有效材料成本和总拥有费用的最优解均在Ks=7.95%、λ=3时取得。优化计算结果及对应的拓扑结构参数如表3所示。

表3 单相半波PMFCL的经济性优化计算结果Table 3 Results of economic optimization for single-phase half-wave PMFCL

由表3可知，运行成本Wy约为材料成本Wx的8.3倍，说明与材料成本相比，运行成本在PMFCL有效寿命周期总成本中占据更大的比重。因此，PMFCL经济性分析和优化必须考虑运行成本。

需要指出的是，前述经济性分析模型和研究实例都是针对单相半波PMFCL的。因此，一台额定电压为500 kV、额定电流为2 kA，可将系统短路电流从51 kA限制到20kA的三相全波PMFCL的材料成本只需6Wx=7645.8万元，而华东电网500 kV限流器示范工程的材料成本约为20000万元。本文计算的运行成本Wy为PMFCL运行20 a产生的总损耗所对应的费用，由于投运时间较短，相应数据在华东电网限流器示范工程中尚未体现。然而，仅从材料成本来看，PMFCL在高压大容量应用场合具有更好的经济性优势。

2.4 仿真分析

为验证上述经济性优化计算结果的合理性，要求按表3所示结构参数设计的PMFCL满足以下条件：可将短路电流有效值由51 kA限制到20 kA，即满足限流性能；绕组电流为零，仅永磁体偏置磁场作用时，铁芯应处在深度饱和区，即满足Ks=7.95%；短路电流峰值时，绕组磁场不应使铁芯进入反向饱和区，以免PMFCL失去限流能力。

图5 直线式PMFCL有限元模型图Fig.5 Finite element model of straight-line PMFCL

基于Ansoft Maxwell软件，建立了单相半波直线式PMFCL的二维有限元分析模型，该半波拓扑用来限制短路电流正半波，如图5所示。2块永磁体的磁动势方向一致，绕组1与绕组2同相串联，绕组电流由外部电路控制。

经有限元求解计算，可得串入PMFCL前后的系统短路电流波形如图6所示。PMFCL使系统短路电流正半波有效值由51 kA降为25 kA左右，虽然比预期限流目标20 kA略高（推测是优化设计过程中未考虑漏磁效应而导致的），但基本能满足限流性能要求。对于短路电流负半波而言，PMFCL铁芯虽处于深度饱和状态，但限流绕组同样具有一定的等效阻抗，只不过与正半波非饱和状态的等效阻抗相比要小得多，因此PMFCL使短路电流负半波也会有一定程度的下降，不过远小于正半波的下降幅度。

图6 串联PMFCL前后的短路电流波形Fig.6 Short circuit current waveforms，with and without serial PMFCL

限流绕组电流为零，即只有永磁体偏置磁场作用时，PMFCL模型中折线ABCDE（见图5）所示位置的磁感应强度和PMFCL的磁场分布分别如图7和图8所示。可知，在永磁体偏置磁场作用下，铁芯在AB段的磁感应强度达1.75 T，饱和深度比与优化计算要求值7.95%基本一致。

图7 绕组电流为零时折线ABCDE处的磁感应强度Fig.7 Curve of magnetic induction intensity vs.fold-line ABCDE when winding current is zero

图8 绕组电流为零时PMFCL磁场分布图Fig.8 Magnetic-field distribution of PMFCL when winding current is zero

图9和图10分别为短路电流第一个半波峰值时折线ABCDE处的磁感应强度和PMFCL的磁场分布。可知，大短路电流使绕组产生的磁场足以抵消永磁体的偏置磁场，反向磁感应强度约为1.6 T，虽接近反向饱和磁感应强度，但PMFCL不会进入反向饱和区而失去限流能力。

需要指出的是，当绕组电流产生的磁场与永磁体偏置磁场方向相反，尤其是绕组电流较大，如短路电流第一个半波峰值时，PMFCL外侧漏磁通很严重（见图10），下一步可从漏磁建模、如何计及漏磁影响和减少漏磁等方面对PMFCL的经济性优化设计算法进行完善。

通过对比串入PMFCL前后的系统短路电流，分析绕组电流为零时刻、短路电流第一个半波峰值时刻折线ABCDE所示位置的磁感应强度以及PMFCL磁场分布图，使本文PMFCL经济性优化模型的合理性和有效性得到了验证，仿真结果基本满足PMFCL的预期设计要求。

图9 短路电流第一个半波峰值时折线ABCDE处的磁感应强度Fig.9 Curve of magnetic induction intensity vs.fold-line ABCDE when short circuit current reaches first half-wave peak

图10 短路电流第一个半波峰值时PMFCL磁场分布图Fig.10 Magnetic-field distribution of PMFCL when short circuit current reaches first half-wave peak

3 结论

（1）构建了直线式PMFCL的经济性分析模型，将其总拥有费用定义为材料成本与运行成本之和。其中，材料成本与关键结构参数lm、le、Sm和Se有关；而运行成本与le和Se密切相关。

（2）采用电感和ρ、电感比λ及饱和深度比Ks3个独立电磁变量分别表征PMFCL的短路电流限制能力、铁芯在正向饱和态和不饱和态之间的转换能力以及永磁体对铁芯的磁偏置能力。指出了PMFCL的经济性优化可转化为这3个独立电磁变量的优化组合问题。

（3）建立了500kVPMFCL经济性分析实例，并在电感和ρ一定的基础上，分析得出了电感比λ、饱和深度比Ks对材料成本Wx和总拥有费用W的影响规律。可知，为了降低PMFCL成本，应尽可能减小λ。

（4）以材料成本Wx和总拥有费用W最小作为目标函数，并选取经济性优化边界条件，得到了PMFCL的经济最优设计方案。分析可知，与材料成本相比，运行成本在PMFCL总拥有费用中占据更大的比重。与华东电网限流器示范工程的材料成本相比，直线式PMFCL在高压大容量场合具有更好的经济性优势。

（5）依据经济性分析实例的优化计算结果，基于Ansoft Maxwell软件建立了PMFCL二维有限元模型，仿真结果基本满足预期设计要求，证明了经济性优化模型的有效性和合理性。

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