浅谈数学专业课之间知识和能力的衔接问题——实变函数教学实践的几点体会

屈田兴,唐玲艳

(国防科技大学 理学院,长沙 410073)



浅谈数学专业课之间知识和能力的衔接问题
——实变函数教学实践的几点体会

屈田兴,唐玲艳

(国防科技大学 理学院,长沙 410073)

摘 要:专业课是学生掌握专业基础知识和专业技能的重要渠道,是学生成长为某一专业人才的基础.本文首先从专业课教学的特点出发,阐述了在数学专业课教学中处理好知识与能力衔接问题的重要性.然后以实变函数的教学实践为例,介绍了如何根据本课程与其它课程内容的衔接点和衔接方式,在教学过程中提出相应的教学策略.最后,对专业课的建设和专业人才培养,提出了几点体会.

关键词:实变函数; 知识与能力的衔接; 数学专业课

专业课是学生掌握专业基础知识和专业技能的重要渠道,是学生成长为某一专业人才的基础.但是在专业课的建设和教学中往往存在着这样的问题: 由于专业课程包括的科目较多,各课程的教学内容不同,侧重点也不同,因而在课程过渡时专业知识和能力间紧密的衔接关系容易被忽视,甚至被割裂.如果不能理顺课程之间的关系,处理好课程内容的衔接与贯通,则可能导致出现同一知识点的重复教学或者不同课程各自孤立等情况,使得专业人才的培养质量大打折扣,素质教育难以落到实处.这个问题的解决既有赖于课程体系的顶层设计,更需要各专业课教师在授课过程中灵活而巧妙地处理好知识点之间的彼此衔接,降低课程过渡的学习台阶,使专业知识的教学和专业技能的训练呈现阶段性、整体性与连续性.

事实上,教师对一门课程的教学研究大致可分为三个阶段: 一、熟悉课程内容阶段; 二、精通课程内容阶段; 三、知识与能力的衔接阶段.其中第三阶段的要求最高,教师不仅要充分挖掘本课程的内涵与外延,还应该了解该课程与其它相关课程内容的衔接点和衔接方式,并在教学过程中采用相应的教学策略.笔者多年来在校内教授数学专业基础课“实变函数”,对于该课程如何更好地为专业人才培养服务积累了一些经验.本文将以实变函数的教学实践为例,探讨如何在数学专业课教学中处理好知识与能力的衔接问题.

1　数学专业课之间知识与能力衔接问题的重要性

专业课教学是实现专业人才培养目标的主要方式,学生通过不同专业课程螺旋式地逐次学习所属学科领域的基础理论、基本知识、基本方法和基本技能.以国防科技大学数学专业为例,按照现行的2012本科人才培养方案,数学合训类共开设24门数学课程,数学技术类共开设34门数学课程.所有课程按照分析与方程,代数与几何,随机、优化与计算,计算机、物理、系统科学与实验四个系列进行建设,不同系列课程的思想方法及技巧各不相同,同一系列不同课程的教学侧重点也不相同.因而,处理好专业课之间知识与能力的有机衔接具有重要意义:

(1)有利于学生多视角、多层面地看待本课程的基本理论与方法,加深对课程内涵与外延的认识,融会贯通所学知识,提升数学素养;

(2)有利于学生了解专业知识的发生、发展和运用全过程,认识到理论是会不断产生、发展和完善的,培养学生勤于思考的良好习惯,养成科学务实的良好品德;

(3)能更好地体现从具体到抽象、再到应用的科研过程,提高学生的学习积极性、主动性与动手能力,并使学生树立正确的科学研究态度.

2　关于实变函数课程

实变函数是数学专业的专业基础课程,它以点集集合论为基础,研究以实数为变量的函数,内容包括实值函数的连续性质、微分理论、Lebesgue测度理论与Lebesgue积分理论等.实变函数课程内容抽象,推理严谨,方法灵活多样,且与多门数学专业课程有密切联系.一方面,实变函数是数学分析课程的自然延续,两者均研究实值函数,后者还沿用了前者中的一些结论和方法,区别在于实变函数在点集集合论的基础上推广、深化了经典分析中的许多基本概念和性质,使微积分理论得到进一步的发展.另一方面,实变函数又是概率论、泛函分析等后续课程的基础,为学习概率论的公理化体系、理解一般积分提供了必要的工具和手段,为泛函分析提供了重要而具体的空间.另外,实变函数对于其他一些涉及积分较多的数学专业课程,如微分方程、随机过程等的学习都会有很大帮助.同时,通过对实变函数课程的学习,能够较好地提升学生的抽象思维能力与数学素养.

3　实变函数教学实践中一些问题的处理与实施

鉴于实变函数课程的特殊地位,有必要在教学实践中处理好知识与能力的衔接问题,以下是笔者在教学实践中对一些具体问题的处理与实施.

3.1 对数学表达能力的进一步训练

数学专业课教学除了培养学生的计算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力之外,还应当通过课程的学习,不断提高学生的数学素养.这其中,数学表达能力是最基本的.数学表达能力包括口头表达能力与书面表达能力两个方面.良好的口头表达能力便于从多方面多角度去阐述问题,更有利于为解决问题提供想法与思路,而良好的书面表达能力则能够用简洁而严谨的数学语言来说明问题,它们都是学生把自己对数学概念、思想、方法、解题过程的向他人进行叙述、展示的技能,是学生今后从事数学研究、撰写学术论文、进行科研汇报必不可少的手段.

中学数学教学并不太重视表达能力的培养,学生进入大学后一下子接触到严谨抽象的分析语言,通常很难理解其中蕴含的逻辑关系,自行表述起来更是颠三倒四、错误百出.为了训练学生的数学表达能力,数学分析课程进行了大量的证明和命题解析.进入实变函数课程后,由于课程内容基本没有直观性,很多时候学生感觉“很明显”的结果,却无法表达清楚,因而数学表达能力的训练至关重要.对于一些基础命题,教师应尽量在黑板上给出分析和证明的完整过程,以便于学生理解和模仿.批改作业时,不能仅看解题思路的正确性,还要帮助学生正确地表述解题过程,包括变量的设定与前后一致、假设的合理性、一些常用记号和书写习惯等.与大多数艰深的数学专业课一样,实变函数课程的习题较少,很多教材上的例题和习题都是一个习题一种类型,解题过程的相似度不足.为此,教师在备课过程中要注意收集和归纳,在课程之初尽量讲解和布置相似的习题,便于学生类比的表达.

3.2 对教材内容的处理与实施

在教学过程中处理好知识与能力的衔接是建立在教师对教学内容熟悉的基础之上的.前期备课时,教师要了解课程的背景、应用和专业地位,再对教材内容进行系统梳理,分清主次.实际教学过程中,对核心教学内容,要求讲活讲透; 对介绍性内容,则应酌情进行简化处理.同时,还应该根据教学对象的特点因材施教.

实变函数论是经典微积分的深化与发展,是现代分析的基础.课程的最主要内容是对函数可积性的研究,它围绕着改进 Riemann 积分展开,其成果就是 Lebesgue 积分理论.通过系统梳理,课程的体系结构如图1所示.核心内容为Lebesgue测度、Lebesgue可测函数和Lebesgue积分.考虑到技术类学员的知识背景和实际需求,我们选用普通高等教育“十一五”国家级规划教材《实变函数与泛函分析概要(第一册)》[1]作为课程教材,并根据课程的地位和作用,在实际教学中有所侧重.例如,在介绍完Lebesgue测度理论之后,用少量时间介绍抽象测度的基本理论,对σ代数,特别是Borel-σ代数作了重点讲授,而对外测度方法则只介绍思想方法与结论,重点放在对结论的应用上.Lebesgue可测函数部分补充给出依测度收敛的充要条件,从而能将几乎处处收敛的许多结果推广到依测度收敛,使得课程后继内容中许多结论的证明较之教材更简洁、更深入,便于学生对比学习、加深理解.

图1 实变函数课程的体系结构

3.3 几个具体问题的讲法

这里通过几个具体的教学案例,介绍如何在实变函数课程教学中处理好知识与能力的有机衔接.

3.3.1 介绍性内容的处理应考虑到学生能力的培养

专业课程彼此相关,有些内容可能同时在好几门课程中出现,如果所有课程都为图方便而简单地一笔带过甚至回避,对学生的能力培养会产生负面作用.因此,对于一些介绍性内容,教师应权衡其重要性,有选择地进行讲授.例如,Zorn引理是Zermolo-Fraenkel(策梅洛-弗兰克尔)公理体系中众多彼此等价的命题之一,是处理不可数过程的必备工具.许多数学结论的证明都要运用它,如Hamel基的存在性、不可测集的存在性、泛函延拓定理、Tychnoff定理,等等.然而这个内容不只在实变函数中出现,而且在后续课程一般拓扑学中也出现,在泛函分析中则有重要应用,但它对这三门课程都不是主要内容,若不仔细讲解,甚至回避,就会导致学生不能很好掌握Zorn引理的使用.考虑到这种情况与Zorn引理在数学专业中的重要性,我们利用4个学时对它进行了讲授.首先给出直观上易于接受的选择公理,再给出Zorn引理的内容,并指出它是与选择公理等价的.教学的重点则放在对Zorn引理的应用上,包括使用的步骤,什么情况下可以使用,这就是: 若对可数情形能用数学归纳法解决的问题,则对一般情形(不必区分是否可数)就可使用Zorn 引理.最后用Zorn引理给出了线性空间Hamel基的存在性与势的三岐性的证明.这样处理后,教学效果明显提高.

3.3.2 为加深学生理解,有必要对教学内容进行适当的扩展

受学时所限,每门课程的教学内容是有限的,但人们对自然现象的研究是不断深入的,知识的发展并没有边际.专业课的教学切忌有门户之见,不能仅局限于一门课程,一种方法,而应该博采众长.教师站得高了,讲授才有深度.例如,尽管实变函数主要涉及Lebesgue测度,但若仅限于此,则对后续课程的学习不利.事实上,实变函数将Riemann积分推广为Lebesgue积分,必定会给出可测函数这个抽象又难以理解的概念.为了使学生从更高的层次理解测度概念的实质和近代测度论的基本思想,有必要对照Lebesgue测度,介绍抽象测度的基本知识.因此,在讲完Lebesgue测度之后,我们利用少量时间介绍σ代数,并将Borel-σ代数作为核心内容要求学生熟练掌握.Rn空间中全体开集构成的σ代数称为Borel-σ代数,其中的集合称为Borel集.此概念可以将函数可测的众多充要条件统一起来,进一步说明可测函数的本质,以及概率分布函数与概率分布的关系.

3.3.3 通过概念对比和结果应用,体现与后续课程的衔接

概率论是实变函数的后续课程.从测度论的角度看,概率不过是一种特殊的测度,因此它与Lebesgue测度有许多相似之处.我们将两门课程中的基本概念进行对照,如图2所示.在实变函数课程末或概率论课程初,有必要向学生展示这张表格,使其认识到知识体系是互相联系的,通过对比更准确、更深刻地理解有关概念.

图2《实变函数》与《概率论》课程的基本概念对照表

4　思考与体会

专业人才的培养是一个有机的整体,不仅实变函数课程需要处理好知识与能力的衔接,其它专业课教学也负有同样的责任.对于这个问题,从专业课建设和人才培养的角度,我们有以下几点思考与体会.

4.1 课程设置

在专业课教学中处理好知识与能力的有机衔接,首先依赖于课程建设的顶层设计,即在制定培养方案时就应该考虑到这方面的问题,仔细梳理各课程之间的关系,保证知识与能力的螺旋式、平稳增长.专业课程的设置工作不能仅仅停留在课程层面,还需要精细到教学大纲的撰写,即从知识与能力的整体性方面考虑.对一些常用的数学工具,明确在哪门课程中精讲,以免出现知识缺失的现象; 对不同课程间重复的教学内容,指明哪门课程主要介绍,哪门课程简单带过,以提高学习时效.另外,考虑到新形势下各专业课的授课学时均有不同程度的压缩,应从知识的整体性和关联性出发,设置各课程的教学侧重点,便于学生理解和灵活运用.

4.2 教师队伍建设

在专业课的教学中,单门课程的教学活动不能是孤立的,而是依托知识点向外延伸,与其它课程有机衔接.专业课教师不仅要对本课程有深刻理解,对相关课程的课程内容与教学情况也要有所了解.教师自身的知识体系完整了,才能在教学过程中灵活地处理好相关问题.因此,形成相对稳固的教师梯队非常重要.然而,专业课门类繁多,单门课程的教学规模一般比较小,每门课程的授课教员也不宜过多.从节约人力资源的角度看,按系列课程建设教师梯队是个不错的主意.同一系列的课程彼此关联度大,从师资队伍的建设来看也更加灵活.

4.3 抽象数学专业课的讲授

大多数数学专业课程都是非常抽象的,理论精深、逻辑严密,如实变函数、泛函分析、抽象代数等.如果简单地就事论事,一个定理一个定理平铺直叙地讲解,学生难免感觉单调乏味,学习的效果也不好.因此,对于这类课程,一定要从知识的整体构架方面讲授,使学生了解课程的地位和知识理论的产生与用途,这样才能激发学生的学习兴趣,达到预期的人才培养效果.

4.4 多媒体课件的使用

多媒体课件的使用一直是数学专业课教学中争议比较大的问题.从知识与能力的衔接方面考虑,我们认为多媒体课件应该与板书配合使用.由于教学改革的推进,各专业课的学时都遭到不同程度的压缩,合理有效的使用多媒体课件可提高教学的时效性,增加课程的信息量,使教师在较短的时间内完成预期的教学任务.当然,课件的使用不能盲目.我们的做法是,对简单的内容在黑板上讲解思路,用PPT给出证明; 对重难点内容则在PPT上给出思路分析,然后板书证明; 对于重要的方法和难以理解的内容,通过评注、小结进行归纳.

参考文献

[1] 郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要(第一册)[M].第4版.北京: 高等教育出版社,2010.

[2] 杨明歌.刍议实变函数课的“承上启下”作用[J].重庆电子工程职业学院学报,2009: 18(3): 102～105

[3] 范洪福.论实变函数解题方法[J].大学数学,2013: 29(1): 95～98

[4] 薛 菲.关于“实变函数论”的学习体会[J].高等数学研究,2013: 16(4): 113～114

On the Linking Problem of Knowledge and Ability Between Mathematics Courses——Some Experiences About the Teaching Practice of Real Variable Function

QU Tian-xing,TANG Ling-yan
(College of Science,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China)

Abstract:The professional course is an important channel for students to master the professional knowledge and skills.It is also a foundation for the students to grow up as a professional.Based on the features of professional course teaching,we firstly analyze the importance of joining knowledge and ability in mathematics teaching in this paper.Then,the teaching practice of “real variable function" is used as an example to introduce to deal with different situations in the teaching process according to the connection point and the cohesion of the curriculum and other curriculum content.Finally,some thoughts and experiences about the specialty construction and talents training are puts forward.

Key words:real value function,the linking of knowledge and ability,mathematics professional courses

作者简介:屈田兴(1974−),男,陕西蒲城人,国防科技大学理学院数学与系统科学系副教授.主要研究方向: 应用数学

基金项目:国防科技大学2013年本科教育教学一般立项课题(U2013008); 国防科技大学研究生一流课程体系建设项目

收稿日期:2015-10-18

中图分类号:G642

文献标识码:A

文章编号:1672-5298(2016)01-0070-05