与HA-凸函数有关的三个准线性函数

时统业,夏 琦,王 斌

(1.海军指挥学院 信息系,南京 211800; 2.海军蚌埠士官学校 航海系,安徽 蚌埠 233012)



与HA-凸函数有关的三个准线性函数

时统业1,夏 琦1,王 斌2

(1.海军指挥学院 信息系,南京 211800; 2.海军蚌埠士官学校 航海系,安徽 蚌埠 233012)

摘 要:给出了三个与HA凸函数有关的函数的定义,前两个来自于HA凸函数的Hermite-Hadamard型不等式,后一个来自于HA凸函数的定义.证明了它们的某种准线性,从而证明了它们的单调性.

关键词:HA凸函数; 积分不等式; 单侧导数

1　预备知识

设f是定义在区间I上的凸函数,则对任意的a,b∈ I ,a＜b ,有著名的Hermite-Hadamard不等式:

或者等价地表述为

文[1]考查了由不等式(1)的差产生的函数,即

并证明了: 对于任意a,b,c∈I ,a＜b＜c ,有

同时将H(f;a,b)和L(f;a,b)满足不等式(2)、(3)的这一特性称为准线性.

文[2]研究了与几何凹函数相关的函数的准线性,文[3]研究了与几何凸函数有关的函数的准线性,文[4]研究了与GA-凸函数相关的函数的准线性,文[5,6]引入了HA-凸函数的概念.本文从HA-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式和HA-凸函数的定义出发,定义与HA-凸函数有关的函数,研究它们的准线性和单调性.

定义1[7]设f(x)在区间I上有定义,f(x)在I上称为是凸(凹)函数,如果对任意x1,x2∈ I,λ∈(0,1),有

定义2[5,6]设f(x)是定义在区间I(⊆(0,+∞))上的正值函数,若对任意x1,x2∈ I和任意t∈[0,1],有

则称f(x)为区间I上的HA-凸函数.若(4)中的不等号反向,则称f(x)为区间I上的HA-凹函数.

引理[8]设f是定义在区间[a ,b](⊆(0,+∞))上的正值函数,g(x)= xf(x),则f是[a ,b ]上的HA-凸函数的充要条件为: g是[a ,b ]上的凸函数.

文[8]给出了HA-凸函数的一个Hermite-Hadamard型不等式

对任意0＜ a b＜,[a ,b ]上的正值函数f ,引入记号:

若f是[a ,b ]上的上的HA-凸函数时,则有

2　主要结果

定理1 设f是区间I上的HA-凸函数,则对任意a,b ,c∈ I,a＜ b＜ c ,有

证明

由引理知,x f(x)是[a ,c ]上的凸函数,于是

又因为xlnx是(0,∞)上的凸函数,于是

因此φ(a ,b;f)+φ(b ,c ;f)-φ(a ,c ; f)≤0,即φ(a ,b;f)+φ(b ,c ;f)≤φ(a ,c ;f).

推论1 设[a ,b]⊆ (0,+∞),f :[ a ,b ]→(0,+∞)是HA-凸函数,则φ(a ,x ; f)在[a ,b ]上单调增加,φ(x ,b ; f)在[a ,b ]上单调减少.

证明 设x1,x2∈ [ a ,b ],且x1＜ x2,则由定理1和式(5)得

即φ(a ,x ; f)在[a ,b ]上单调增加.同理可证,φ(x ,b ; f)在[a ,b ]上单调减少.

定理2 设f是区间I上的HA-凸函数,则对任意a,b ,c∈ I,a＜ b c＜,有

证明

因为

故由HA-凸函数定义得

于是φ(a ,b ; f)+φ(b ,c ;f)-φ(a ,c ; f)≤0,即φ(a ,b ; f)+φ(b ,c ; f)≤φ(a ,c ; f).

推论2 设[a ,b]⊆ (0,+∞),f :[ a ,b ]→(0,+∞)是HA-凸函数,则φ(a ,x ; f)在[a ,b ]上单调增加,φ(x ,b ; f)在[a ,b ]上单调减少.

证明 类似于推论1的证明,这里从略.

定理3 设f是区间I上的HA-凸函数,则对任意a,b ,c∈ I,a＜ b c＜,有

证明

其中

由HA-凸函数定义,得

两式相加,得f(b)+ f(q)≤f(p)+ f(r),于是有θ(a ,b ; f)+θ(b ,c ; f)-θ(a ,c ; f)≤0,即

推论3 设[a ,b]⊆(0,+∞),f :[ a ,b ]→(0,+∞)是HA-凸函数,则θ(a ,x ; f)在[a ,b ]上单调增加,θ(x ; b;f)在[a ,b ]上单调减少.

证明 类似于推论1的证明,这里从略.

注若f:[a,b]→(0,+∞)是HA-凹函数,其它条件不变,则定理1～3结论中的不等号反向,而推论中函数的单调性改变.

参考文献

[1] Dragomir S S,Pearce C E M.Quasilinear and Hadamard’s inequality[J].Mathematical Inequalities and Applications,2002,5(3): 463～471

[2] 郑宁国,张小明.与几何凹函数相关的函数的准线性研究[J].数学的实践与认识,2006,36(8): 336～341

[3] 郑宁国.一些与几何凸函数有关的函数的准线性[J].高等数学研究,2008,11(4): 20～23

[4] 华 云.与GA-凸函数相关的函数的准线性[J].大学数学,2009,25(6): 193～196

[5] 宋振云.HA-凸函数及其Jensen型不等式[J].德州学院学报,2014,30(4): 16～21

[6] 陈少元.HA-凸函数及其判定与应用[J].湖北职业技术学院学报,2014,17(2): 99～102

[7] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].第2版.北京: 高等教育出版社,2006: 268

[8] 时统业,王 斌.与HA-凸函数有关的若干不等式[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2015,28(4): 1～5,36

Quasi-linearity and the Monotonicity of Three Functions Related to HA-Convex Functions

SHI Tong-ye,XIA Qi,WANG Bin
(1.Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China; 2.Department of Navigation,PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy,Bengbu 233012,China)

Abstract:Three functions,generated by Hermite-Hadamard type inequality and the definition of HA-convex function,are given.Their quasi-linearity and monotonicity are proved.

Key words:HA-convex function,integral inequality,unilateral derivative

作者简介:时统业(1963−),男,河北张家口人,硕士,海军指挥学院信息系副教授.主要研究方向: 基础数学

收稿日期:2015-11-18

中图分类号:O178

文献标识码:A

文章编号:1672-5298(2016)01-0001-03