整体把握教材 提升教师专业素养

张秋爽 北京市顺义区教育研究考试中心小学数学教研员，吴正宪小学数学教师工作站核心组成员，北京儿童教育研究所兼职教研员，中学高级教师，特级教师，北京市学科带头人，教育硕士学位，中国教育学会小数专委会先进工作者。

曾参加过教育部远程培训、教育部西部农远工程、教育部国培（小学数学）、新课标解读等项目，作为主讲教师；作为副主编或编委参与了《团队研修的实践探索》《听吴正宪老师上课》《和吴正宪老师一起读数学新课标》等10余本书的编写；曾经在国家级刊物上发表论文、教学设计80多篇。先后去日本、澳门和国内十多个省市交流，指导教师参与北京市、中国教育学会课堂教学观摩获一等奖；参与的课题获北京市基础教育教学成果一等奖、首届教育部基础教育成果一等奖、首届基础教育科研成果一等奖。

教学研究的基本问题是“教什么”和“怎么教”，前者关乎教学内容，后者关乎教学形式。教学内容决定教学形式，教学形式服务于教学内容。“教什么”永远比“怎么教”更重要。“教什么”是目标，目标是首要的；“怎么教”是技术，技术是无穷的。教无定法，贵在得法。

一、读懂每个知识点的来龙去脉，挖掘数学本质

孙晓天教授曾经指出，作为一名数学教师要有意识地提高自己的专业素养，树立基于“全面知识”的教学观。教师对传授的数学知识要有足够的见识和视野，见识和视野从哪里来？来源于对四个问题的关注：为什么？是什么？干什么？怎么干？也就是从一个知识点的四个维度去思考，想清楚、说明白，进一步读懂教材。

1.读懂“为什么”，体会知识的生命价值

“为什么”是指教育价值，一般有三个角度要考虑：该内容在学生未来的生活里会有什么作用？在学生后续的学习中是什么角色？有哪些独到的教育意义？

在备“乘法分配律”这一内容时，我关注了知识间的内在联系：从乘法口诀到乘法计算再到因式分解；从计算周长到长方体的表面积再到圆环面积；从行程问题到应用乘法分配律解决问题再到举一反三和知识拓展等，其本质都是乘法的意义，其背后蕴含的分与合的思想是数学知识发展不可缺少的思想，也是学生学习数学知识、解决问题的策略。

在教学《分数的初步认识》一课时，教师要让学生体会为什么要学习分数？学习分数的价值是什么？在分东西或测量得不到整数结果的时候就产生了分数。学习分数来源于需求，这就是引入时创设情境的主旨，体现了学习分数的价值。

“认识方程”是学生从程序性思维向关系思维过渡的关键内容，有助于丰富学生的思维方式，是从算术思维到代数思维的过渡，也是数学史上第一次数学思想方法的突破。

2.弄清“是什么”，体会知识的内涵和本质

“是什么”是指数学意义，是在表面意义的基础上挖掘其本质。在教材中，有关周长、面积、体积的概念是这样描述的：封闭图形一周的长度是周长；物体表面或平面图形的大小叫面积；物体所占空间的大小是体积。而其本质是：周长是从起点再回到起点，顺边加。周长是长度单位个数的累加，面积是面积单位个数的累加，体积是体积单位个数的累加，所以度量思想非常重要。我们在选择素材、设计活动、师生互动时要让学生体会概念的本质。

如“乘法分配律”就是两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积加起来；分配律是算理，是使算法能“合理简洁”进行的基础（如乘法竖式）。它沟通了加法和乘法两种运算间的联系，改变了运算的先后顺序。“乘法分配律”是乘法对加法的分配，实际上还有许多变式；计算过程中还渗透了分与合、等量代换的思想，其本质就是乘法意义。分配律是“找规律”，是积累活动经验的重要题材。

“方程是含有未知量的等式”，这是描述性的概念，其本质是从事件中寻找两个相等的故事，构建等量关系、列出方程，是把未知量和已知量放在同等位置上考虑问题，是一种建立数学模型的过程。数学源自生活，又回归生活。这就告诉我们，建立数学模型是提取、还原的过程。

3.理解“干什么”，体会知识的应用价值

“干什么”是指用途与发展。“乘法分配律”是保证四则运算正确、结果唯一的定律之一，对于整数、小数、分数、有理数、代数式、有理式、未来学习的积分等知识都能应用，其用途非常广泛。乘法分配律是一种模型。有人说，除法没有分配律。其实，除法的分配律是有条件限制的，可以把被除数拆成两个数，可以应用分配律；如果把除数拆成两个数就无法应用了。

分数既表示一种结果，也表示一种关系。如部分和整体之间的关系，部分和部分之间的关系等。分数能表示除法计算中除不尽的情况。分数还可以和份、平均分、倍、比等知识相互转化，解决不同情境中的问题。

如“方程是重要的数学模型”，我把方程思想理解为：为寻求未知量和已知量之间的联系，把未知量先等同于已知量，进行相关运算，并形成等量关系，进而解出未知量。“认识方程”从方程思想渗透的角度有两个问题需要关注：一是如何使学生学会寻找等量关系，二是学生在寻找等量关系时怎样才能把未知量等同于已知量。这两个问题似乎都与学生长期的算术思维有关，算术思维使得学生很容易走向求未知数。教学中，我们要提供较为丰富的生活事件，引导学生不断地寻找两个相等的故事，经历提取等量关系、列方程的过程，然后让学生面对方程赋予它更多现实含义。当学生能够在模型与生活间建立联系时，他们才真正接受了这个模型。

4.落实“怎么干”，关注学生的数学理解

“怎么干”是指具体的技能与方法。如“乘法分配律”的教学可以借助学生经验，将成套的服装、成套的桌椅、常见的数量关系作为例证，从两种不同的计算方法中得出一组组具有相等关系的式子；或者借助几何直观，给学生多个长方形，看哪些能拼成新的长方形，在拼摆中既可以获得求面积和的例子，也可以呈现求面积差的例证；或者借助生活情景；还可以利用学生已有的旧知识学习乘法分配律等。

分数的学习要让学生体会分数多元多维的含义，丰富学生建构的分数模型，有面积模型、子集—全集模型、数线模型等。

如“方程的解法”，从事件中寻找等量关系，列出方程，可以说是一种建立数学模型的过程。如何让学生更好地经历这个建模的过程，更轻松地接受这个模型，我想单方面让学生经历从事件中提取还不足以让学生充分接受。所以，在教学前要搜集较为丰富的生活事件，引导学生不断地经历提取等量关系、列方程的过程；后期让学生面对方程这个已有模型，赋予它更多现实含义，当学生能够将模型与生活建立联系时，他才真的开始接受这个模型了。

如果教师对每一个具体的教学内容都能沿着“为什么？是什么？干什么？怎么干”的线索想清楚、讲明白，就能逐步完善看问题的角度，开阔视野，增添智慧，在观察世界、欣赏数学、思考教学问题时做到心中有数。在此基础上才能逐步实现“整体把握”，才能区别“核心价值”，明白教什么、怎么教。

二、梳理知识序列，沟通知识间内在联系

备课时读懂课时内容的四个方面还远远不够，还要关注知识间的内在联系。数学是一门逻辑性很强的关系学科，而内容的安排上则是分散难点、循序渐进、螺旋上升的。所以教师要有意识地对知识进行梳理，沟通知识间的内在联系。

如“加、减、乘、除”四则运算，我们要在不同年级帮助学生积累运算原型。这就是一个知识序列。加、减、乘、除运算的意义是核心概念，要让学生积累原型，用加、减、乘、除运算。运算的多种“原型”如下：加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型；减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型；乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型；除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。

除此之外，我们还应该关注四种运算之间的联系：乘法是加法的简便运算；加法和减法互为逆运算；乘法和除法互为逆运算；除法是减去相同减数的简便运算等。

数的加减法，不论整数、小数，还是分数，其本质都是计数单位个数的相加减。小学阶段学习的乘法计算从知识序列上看：从二年级学习乘法意义和乘法口诀，到三年级学习多位数乘一位数、两位数乘两位数，四年级学习三位数乘两位数，到五年级学习小数乘法等。乘法计算的依据是十进位值，本质是分与合的思想，基础是乘法意义。而小数乘法是在已学知识的基础上，先把它转化成整数乘法计算，然后再根据积的变化规律得出正确答案。整数乘法计算熟练了，小数乘法不过是找个替身而已，即转化成整数乘法去计算。

除法计算，一个数除以分数，等于这个数乘这个分数的倒数。利用乘除法的互逆关系进行了转化。是不是就分数除法这样做呢？我们一起来梳理除法计算。除法计算包括三个方面：一个数除以一个整数；一个数除以一个小数；一个数除以分数（如图1）。它们都可以转化为乘一个数的倒数，这就是数学的统一性。既体现了知识间的内在联系，也体现了数学具有抽象性的特点。

在数学教学中，有很多的知识序列，需要教师用心勾连，关注知识间的内在联系，让知识形成网络，有助于学生的数学理解。

三、建构知识包，把握核心概念

教材关于教学内容的安排体现了分散难点、循序渐进、螺旋上升的特点，所以在教学时，要读懂知识间的内在联系，建立知识包，体现数学的统一性，抓住核心概念，构建学生的关键能力。

“同样多”是一个核心概念，正是因为有了“同样多”，才有了相同加数，才定义了乘法；正是有了“分得同样多”，才定义了除法，也就产生了分数；有了“同样多”就有了几个几，有了几个几就有了倍的概念……

“同样多”作为一个概念进行学习，背后的思想是一一对应。角的大小比较、图形的大小比较都能用重合的方法比较，都是以“同样多”的对应思想作为支撑。

在小学数学学习中，“单位”也是一个核心概念。学习数的认识、数的计算、数的大小比较、常见的量、度量中找标准等都离不开“单位”。这里的“单位”包括计数单位、计量单位、度量单位等。

总之，小学虽小但其内涵不小。在小学数学学习过程中还有很多的核心概念，需要数学教师认真地思考和发掘。数学知识的学习要求教师对所学内容有整体把握，了解知识的来龙去脉，关注知识间的内在联系，把握核心概念，渗透数学本质。？筻