角平分线的向量视角

谭亚英

先给出以下结论：

命题 如图1，若OA=a，OB=b，P是∠AOB的平分线上的任意一点，则

图 1

OP=taa+bb，t≥0。（）；反之，若点P满足（）（t∈R），则P在∠AOB的平分直线上。

证明 命OA0=aa，OB0=bb。

由于OA0=OB0=1，所以平行四边形A0OB0P0是菱形，

则OP0平分∠AOB。

因为P是∠AOB的平分线上的任意一点，则有OP=tOP0=tOA0+OB0，t≥0。

也即OP=taa+bb，t≥0。（）

反过来，若点P满足（）（t∈R），则P在菱形A0OB0P0的∠A0OB0的平分线上，也即在∠AOB的平分直线上。

利用上述角平分线的向量结论，可以简便快捷地解决一些与之相关的数学问题，其中包括近些年来的一些高考试题。

例1 如图2，在△ABC中，AD是∠A的平分线，a，b，c为其三边长。

（1）求证：BDDC=cb；

（2）求AD的长。

图 2

分析 （1）由（）可得

AD=tABc+ACb=tcAB+tbAC。①

∵B，D，C三点共线，∴tc+tb=1t=bcb+c。代入①得

AD=bb+cAB+cb+cAC。②

BD=AD-AB=bb+cAB+cb+cAC-AB

=-c1b+cAB-1b+cAC。

DC=AC-AD=AC-bb+cAB-cb+cAC

=-b1b+cAB-1b+cAC。

故BDDC=BDDC=cb。

（2）在②两边平方，得

AD2=1b+c2b2·AB2+2bcAB·AC+c2·AC2=2bcb+c2bc+AB·AC。③

又AB-AC=CBAB·AC=AB2+AC2-CB22=c2+b2-a22，代入③

可得AD=bcb+c2-a2b+c。

前述证法，与传统的平面几何证明方法大

为不同，别具一格，充分显示了向量的工具作用。

在本题中，若AD是∠A的外角平分线，如

图3，不妨利用命题，证明BDDC=cb，

并求出外角平分线长AD。

证明过程由读者完成。

最后，我们来看涉及角平分线的高考或竞赛的向量试题：

例2 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ（ABAB+ACAC），λ∈0，+∞，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）。

A。外心 B。内心 C。重心 D。垂心

简析 由已知等式可得

AP=λ（ABAB+ACAC），λ∈0，+∞。

由命题可知，P在△ABC的∠AD的平分线上，故选B。

例3 在直角坐标系xoy中，已知点A0，1和点B-3，4，若点C在∠AOB的平分线上且OC=2，则OC=。

简析 利用命题有

OC=±2OAOA+OBOBOAOA+OBOB=±-105，3105。

例4 已知非零向量AB与AC满足ABAB+ACAC·BC=0，且ABAB·ACAC=12则△ABC为（ ）。

A。三边均不相等的三角形

B。直角三角形C。等腰非等边三角形D。等边三角形

简析 由命题，从ABAB+ACAC·BC=0知，∠A的平分线垂直对边BC，故

△ABC为等腰三角形；从ABAB·ACAC=12知，cosA=12A=60°。

故△ABC为等边三角形，选D。

例5 已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a-c）·（b-c）=0，则c的最大值是（ ）。

A。1 B。2 C。2 D。22

图 3

简析 如图3，OA=a，OB=b。过O，A，B作圆，

由于a，b是互相垂直的单位向量，由直观可得，

圆上异于O，A，B的任意一点C都满足（a-c）·（b-c）=0。

显然，当点C在∠AOB的平分线上，即直径OC最大，即cmax=2。选C。

例8 已知点I为△ABC的內心，AC=2，BC=3，AB=4，若

AI=xAB+yAC，则x+y的值为（ ）。

A。13 B。23 C。49 D。59

简析 借助⑦AI=bca+b+cABc+ACb，

得AI=2×43+2+4AB4+AC2=29AB+49AC。

即x+y=29+49=23。选B。

命题推广到空间的情形，留给读者探究。