导数和积分综合应用的一个例析

杨明珠

例 求函数y=x3-x2-x+1与x轴所围或图形的面积。

解析 （1）作函数f（x）=x3―x2―x+1的图形，

f′（x）=3x2-2x-1=（3x+1）（x-1），

f″（x）=6x-2=2（3x-1）。

令f′（x）=0，得x=-1[]3和x=1。

令f″（x）=0，得x=1[]3。

x-1，-1[]3

-1[]3

-1[]3，1[]3

1[]3

1[]3，1[]1[]

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

-

-

0

+

f″（x）

-

-

-

0

+

+

+

极大

拐点

极小

当x→+∞时 y→+∞ 当x→-∞ y→-∞

得f-1[]3=32[]27，f1[]3=16[]27，f（1）=0。

从而得函数y=x3―x2―x+1图形上的三个点

-1[]3，32[]27，1[]3，16[]27，（1，0）。

画出函数y=x3―x2―x+1的图形如下：

（2）求函数y=x3―x2―x+1与x轴所围图形的面积

S=∫1-1（x3-x2-x+1）dx

=∫1-1x3dx-∫1-1x2dx-∫1-1xdx+∫1-1dx

=-2∫10x2dx+∫1-1dx=-2[]3+2=4[]3。

[参考文献]

[1]同济大学数学系。高等数学[M]。北京：高等教育出版社，2014。7。

[2]吴赣昌。微积分[M]。北京：中国人民大学出版社，2011。4。