培养高中学生的数学素养

谢宁

数学素养听起来好像很深奥、很生疏，其实它时时渗透在我们的日常生活中，如：每天时间上的统筹安排，商场打折信息、家庭投资理财，利润最大化问题等。那什么是数学素养？对于数学素养的解释，到目前为止还没有一个严格的、统一的定义。有人认为“数学素养”是在先天基础上，受后天环境、数学教育等影响，所获得的数学知识技能、数学思想方法、数学能力、数学观念和数学思维品质等融于身心的一种比较稳定的心理状态。用南开大学顾沛教授的话说：“数学素养”就是把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西。拥有良好数学素养的人在解决问题时就会有良好的逻辑推理意识和能力，会不自觉地把数学素养应用到其他学科和生活中去。所以数学它不只是为了解题而存在，它更应该是在人们的具体实践中提高自己的能力与素质的一种存在。

高中生的数学素养包括对数的敏感度、符号意识和数学应用意识；数学思维、数学理解、数学交流、解决问题四种数学能力以及数学价值观的发展。下面我从以下三个方面和大家谈谈我对培养高中学生数学素养的肤浅认识：一、用数学的视角去认识问题。二、用数学的方式去思考问题。三、用数学的方法解决问题。

首先看第一个方面：用数学的视角去认识问题——数学意识的培养。

什么是“数学意识”呢？我们把应用数学的意识和创新意识称之为数学意识；也可以说，这是对数学的一种感觉。举一个例子，比如两人约定晚上7：00—8：00见面，并没有说好具体的时间，但是彼此耐心都有限，都只能等待对方20分钟，那两人见面的可能性是多少呢？这时，如果能想到用直角坐标系中的点（x，y）来代表男女两位到达的时刻，用|x-y|≤20来刻画等待的时间，用面积的比值来计算这个概率，这就说明这名学生具有很好的数学意识了。

（一）掌握扎实的基础知识，培养学生的数学直觉思维，提高对数学的敏感度

爱因斯坦说：“真正可贵的思维是直觉思维。”直觉思维是人脑对事物、问题、现象的某种直接的领悟和洞察的一种思维形式。在教学中，要培养学生的直觉思维能力，首先要求学生必须掌握好扎实的基础知识，提高学生整体把握知识的能力。打个比方，学生在初中就学习过了完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2，但是很多学生只是当作一个公式来记忆，从左到右是如何展开的，当遇到从右到左是如何配凑的，很多学困生就是想不到，老师一讲解才恍然大悟，所以在高中阶段的教学中，一定要让学生明白公式从左到右，和从右到左都应该是你要掌握的技巧，进一步遇到a2+ab+b2=（a+b）2-ab=（a-b）2+3ab=a+b[]22+3[]2b2这样的问题，才能解决。

（二）加强数学符号阅读能力，培养学生的符号意识

简单地说，“符号”就是某种事物的记号，它采用一一对应的方式，把一个复杂的事物用简单的形式表现出来，它是众多事物表征抽象概括的结果。而数学符号感则是个体理解符号所表示的实际意义，运用符号进行运算和转换，从而借助于符号解决数学问题。教师在平时的数学教学中往往只教给学生用符号表达的结果，而常常忽视了对数学符号的“最原始”的暗示功能的挖掘，从而导致学生多习惯于停留在数学符号操作的层面上，而不能达到真正借助于符号揭示其深刻的内涵层面。 因此，在数学教学中要抓住数学符号创设的启发性原则，注意充分挖掘符号的暗示功能。

我们利用数学符号的主要作用之一是用高度简约化的形式语言来表征具体的数学内容。而我们在实际的教学过程中往往会发现学生的数学知识过于表面化的现象。例如，学生在学习数学符号时没有真正理解数学符号的意义及其蕴含的思想方法，在记忆时只按照老师的要求进行简单的机械记忆，记住的仅仅只是几个抽象的符号而已。比如，学生若不理解三角函数sin（A+B）的涵义，则类似于sin（A+B）=sinA+sinB的错误就有可能发生。产生这一现象的主要原因在于学生进行数学学习时出现了内容与形式的脱节，其实质就是简约化的数学符号与其所表征的数学内容相脱节。据此，在教学时，教师应给数学符号赋予具体的内容，要对数学符号的涵义和实质进行深入的分析。尽可能地在实际问题情境中帮助学生理解数学符号以及表达式、关系式的意义，进而深刻理解数学符号所蕴含的思想方法和意义。要始终注重数学符号的辨析、操作和变换等。

第二个方面：用数学的方式思考问题——数学思维能力的培养。

（一）数形结合，化抽象的概念为可以看得见的数学事实，发展学生的形象思维

与其他学科相比，数学具有一个最显著的特征，许多的定理、公式，都是直接通过观察图像得出来的。如一元二次函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数等函数的性质和特征，无一不是通过研究图像得出的。可以说，在数学中，数形结合贯穿了整个教学的始终。因此，培养学生数形结合的能力，对于数学的教学都具有特殊的意义。

著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非。”在解决高中数学一些问题时，若采用数形结合的思想，便可以使抽象的数学信息、数量关系用直观的几何图形形象地表示，从而使复杂的数学问题简单化，抽象问题具体化，从而起到简便解决数学问题的目的。

例 若关于x的方程7x2-（m+13）x+（m2-m-2）=0的两根x1，x2分别满足0

解 令f（x）=7x2-（m+13）x+（m2-m-2），其图像与x 轴交点的横坐标就是方程 f（x）=0 的解。 由 y=f（x）的右图可以看出：要使两根分别在（0，1）和（1，2）内，只需f（0）=m2-m-2>0，f（1）=7-m-13+m2-m-2<0，f（2）=28-2m-26+m2-m-2>0同时成立，解得：-2

从上面例题来看，若学生能够利用数形结合思想来解决一些数学问题，充分地抓住数与形的内在联系，将会收到事半功倍的效果。除此之外，数形结合思想在解决解析几何、立体几何等问题上仍然可以把复杂的问题简单化、直观化。当然，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种十分重要的数学思想方法，它可以拓宽学生的解题思路，提高他们的解题能力，将它作为知识转化为能力的“桥”。

（二）精心组织数学活动，培养学生的合情推理能力

数学学习中的合情推理可以理解为依据已有的数学题目事实、结论（定义、公理、定理、已知条件等），结合自己的数学知识，融入个人的解题经验、直觉、思维等推测某些数学问题结果的推理过程。可以说，数学命题的形成是以合情推理为基础的，是数学解题、设题过程中的重要环节。虽说高中数学的相关教学内容都是前人所总结探索出来的，但对于学生来说，且是未知的，需要通过体验类似的再创造过程来发现数学知识。显然这一学习过程需要合情推理的应用。在数学学习过程中，合情推理不只可以发现命题方向，还有助于探索解题思路，其实质上是探索、发现、经历数学结论形成的过程，是对学生思维能力的一种培养，符合新课标教学理念。那如何培养学生的合情推理能力呢？

首先要学会观察。观察可以调动学生的各种感官，在已有知识的基础上产生联想，进行合情推理，观察的结果直接影响推理的可靠性。所以在教学中要给学生必要的时间和空间进行观察，引导学生学会有目的地、有序地、全面地对所研究的数学问题的结构特征、数据特征、图形特征等信息进行观察，以达到培养良好的观察习惯，提高观察力，发展合理推理能力的目的。例如，在进行“等比数列的概念”的教学时，学生对等差数列的概念和通项公式已经掌握得比较熟练，故可以借助等差数列的知识来引入等比数列的相关知识，充分利用合情推理帮助学生形成并牢固掌握概念和有关公式。

其次，教师进行数学教学活动时，如果只以教材的内容为素材对学生的合情推理能力进行培养，会有一定的局限性。如果能够紧密结合学生的生活实际，用学生非常熟悉的生活现象来创设情境，自然会取得较好的教学效果。如以下典型例题的教学：已知a，b，m∈R+且aa[]b。如此纯数学问题，我们可以增加它的背景，让它生活化。背景：某班有b个人，a个西瓜，其中人数比西瓜个数多，当b个人正要将a个西瓜分来吃时，忽然来了m个人带来了m个西瓜要求入伙，共同分瓜吃，试问这b个人平均每人分吃的西瓜比以前多了还是少了？简析：原来每个人吃a[]b（aa[]b。故将此不等式称作为“分瓜不等式”，既活跃了气氛，又引入了数学模型，再转化为“溶质[]溶液=浓度”问题，将原来枯燥的数学式子生活化了，培养了学生合情推理的能力。

最后一个方面：用数学的方法解决问题——分析问题和解决问题的能力的培养。

高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点，而高考中的应用题就着重考查这方面的能力。数学是充满模式的，就解应用题而言，对其数学模式的识别是解决它的前提。由于高考考查的都不是原始的实际问题，命题者对生产、生活中的原始问题的设计加工使每个应用题都有其数学模型。如2005年天津的“最大视角问题”为解析几何和米勒定理模型；2008年广东的“平均综合费用问题”和2009年湖北“修建围墙总费用问题”都是均值不等式模型；2010年浙江的“销售额问题”是一元二次不等式模型；2011年湖南“雨中行走是否跑得越快淋雨就越少问题”实则是分段函数单调性模型。在高中数学教学中，不但要重视应用题的教学，同时要对应用题进行专题训练，引导学生总结、归纳各种应用题的数学模型，这样学生才能有的放矢，合理运用数学思想和方法分析和解决实际问题。

当然，解决问题的策略是多样化的，我们要鼓励学生根据不同的问题来选择恰当的方法和策略，并将解决问题的策略内化为个人的数学素养，成为思考问题的一种习惯。

在社会高度文明的今天，物质世界和精神世界只有通过量化才能达到完善的展示，而数学正是这一高超智慧成就的结晶，它已渗透到日常生活的各个领域。提高学生的数学素养，即提高了学生适应社会，参加生产和进一步学习所必须的数学基础知识和基本技能，这是时代的需要也是学生实现自身价值的需要。作为教育最前线的教师，应认清在现代科学中数学能力、数学思维的重要性，这种能力不是表现在死记硬背，不光表现在计算能力，而应该是一种数学素养。所以，我们应树立正确的数学观、教育观，在课堂中加强学生数学素养的培养，使学生教育成为真正意义上的素质教育。