浅谈有关恒成立问题的解题策略与技巧

程玲芝

摘 要：高中数学是学生在高中阶段学习的重点和难点，“恒成立”问题是近年来高校招生考试中最重要的考点之一。为了使学生更好地理解并掌握高中数学的"恒成立”问题，我将简要介绍这类问题的策略和技巧。

关键词：恒成立；高中数学；解题技巧

中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）06-001-02

很多高中生在解数学问题时，由于没有掌握一定的解题策略与技巧，他们常常会觉得在数学学习中总是充满了困难，那么我就来用恒成立的问题介绍下解题策略以及技巧。高中数学恒成立问题涉及到函数的性质、图像，其中也渗透着数形结合等思想。通过让学生进行这类题型的练习，有助于对学生的解题能力进行综合的考查，并能够帮助学生养成灵活性与创造性的数学思维。下面我结合我的教学经验，谈谈恒成立问题的解题方法。

一、构造函数法

在解决问题时，该方法可以用来解决问题，根据函数的性质解题。但是在构造函数时我们需注意要确定出合适的变量与参数，若是不能正确地构造函数，会使解题步骤过于繁琐，解题的思路也会更加复杂。因而，找出正确的函数关系，能够使函数关系更加清晰明了，使数学问题解决起来更直观简便。对于大部分这类问题，我们通常会将已知存在范围的量视为变量，而将待求范围的量视为参数。例如：

例1.已知不等式2x-1>m（x2-1）对随意的m∈[-2，2]都成立，求x 的取值范围。

分析：该题为含有两个变量的不等式，如果用不等式的性质等进行解题，难以实现，那么我们就会想到要构造相应的函数。因为许多学生的思维公式，很容易想到的不平等的讨论，从而解决问题的过程是复杂的。若是转变一下思路，既然m的取值范围已知，那么我们可以将其作为自变量，构造出相应的函数，将x作为参数处理。

解：将原式移项得：m（x2-1）-（2x-1）<0.我们可以看出，不等式左侧的式子与二次函数的形式非常相似，构造函数f（m）= m（x2-1）-（2x-1），则原不等式2x-1>m（x2-1）对任意的m∈[-2，2]都成立等价于f（m）<0对m∈[-2，2]恒成立。即当-2

f（2）=2（x2-1）-（2x-1）<0，即 -2x-1<0

f（-2）= -2（x2-1）-（2x-1）<0 2x2+2x-3>0

故x的取值范围为（，）.

评注：该题将不等式恒成立问题通过构造相应的函数转化为函数的自变量在一定区间内函数值小于零恒成立的问题，通过函数的性质进行解题，将原来的二次函数转化为一次函数的形式，大大降低了解题的难度，增加了解题的技巧性，从而使问题轻松得到解决。

二、分离参数法

在解函数与不等式含参数恒成立的问题时，如果可以将参数与其他的变量分离出来，并且在分离后不等式或函数其中一边的代数式能够求其取值范围或最值时，就可以采用分离参数的方法求解。其一般的类型为：（1）f（x）>a恒成立a< f（x）min；f（a）≤g（x）恒成立f（a）≤ g（x）min；（2）f（x）f（x）max；f（a）≥g（x）恒成立f（a） ≥g（x）max.

例2.已知函数f（x）=lg（x+-2），若对任意x∈[2，+∞）恒有f（x）>0，试确定a的取值范围。

分析：该题是含有参数的函数式恒成立的问题。那么在解题时就先要看看该题的参数是否能够从函数式中分离出来。若无法将参数直接分离出来，我们则要根据不同的函数进行分类讨论，或是采取其它的方法解题。

解：根据题意得：x+-2>1在x∈[2，+∞）上恒成立，即a> -x2+3x在x∈[2，+∞）上恒成立，设f（x）= -x2+3x，则f（x）= -（x -）2

+，当x=2时，f（x）max=2，所以a>2.

评注：该题将参数从函数式中分离出来，并根据函数图像性质，求出函数在一定区间内的最大值，得出参数的取值范围。

对于一些具有特殊性质的函数求参数问题，可以将其转化为恒成立问题求解，然后借助恒成立的特殊性，进行求解。

例3.函数f（x）=loga（-x2+ log2ax）定义域为（0，），求实数a的取值范围。

分析：此函数为对数函数，根据对数函数的性质我们会得出一个关于x的不等式，然后再根据该题的已知条件，将该问题转化为恒成立问题来处理。

解：依题可知，-x2+ log2ax>0在区间（0，）上恒成立 log2ax> x2在区间（0，）上恒成立。又∵x2>0，∴log2ax>0，∴0<2a<1，则有0

评注：对于一些函数的恒成立问题，像是有关于函数的定义域、单调性等，可以通过等价转化将其转化为不等式恒成立的问题来处理。该题采用的是间接分离参数的方法，利用对数函数的一些特性，通过解不等式的方法来求解转化后的恒成立问题，这种解题思想也是高考的考点，是我们课堂教学的重要内容。

三、数形结合法

数形结合法是高中数学最常用的解题方法之一，其通过图形能够将函数的基本信息直观地展示出来。利用图形进行求解大大简化了解题的思路与步骤，能够使解题思路清晰地浮现出来，从而使计算过程得到了有效的简化，能够提高学生的解题效率。如果不等式中的函数式对应的图像能够容易画出时，我们就可以通过图像或图形的相应位置关系建立不等式求解。

例4.已知函数y=f（x）= 3x+6 x≥2

-6-3x x<-2， 若不等式f（x） ≥2x-m恒成立，则求实数m的取值范围。

分析：由于该函数为分段函数，且其每一段上都是一次函数，其函数图像能够很容易地画出来，而且含有参数的不等式也为一次函数的形式，因此该题就可以采用数形结合的解题方法。

解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x-m与y=f（x）的图像。由于不等式f（x） ≥2x-m恒成立，所以函数y=2x-m的图像应该总在y=f（x）的图像的下方，又图像可知，当x=-2时，y=f（x）取得最小值为0，则能得出y=-4-m≤0，从而可得出m≥-4.所以m的取值范围为[-4，+∞）.

评注：在解决一些不等式问题时，我们可以根据函数的图像以及不等式中量的关系，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的取值范围。

四、最值法

最值法是解函数以及不等式问题常用的方法之一，其利用函数的性质，以及不等式的数量关系，将含有参数的代数式分离出去，与参数分离法相结合，来进行求解。

例5.已知函数f（x）=x（lnx+m），g（x）= x2+x. （Ⅰ） 当m=-2时，求f（x）的单调区间。（Ⅱ）若m= 时，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围。

分析：（Ⅱ）该题中的两个函数图像都难以画出，因此不能采用数形结合的解题思想。那我们只能先将函数进行整理，从问题出发，联系已知条件，一步步进行求解。

解：（Ⅱ）当m= 时，不等式g（x）≥f（x），即x2+x≥x恒成立。

由于x>0，∴x2+1≥lnx+，则有a≥.令h（x）= ，则h（x）=，由h（x）=0得出x=1，且当00；当x>1时，h（x）<0，即h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以h（x）在x=1处取得极大值h（1）= ，也就是函数h（x）在定义域上的最大值。因此要使a≥恒成立，只需a≥max，即a≥，∴a∈[，+∞）.

评注：该题是将求参数的取值范围通过转化，变为求函数的极值问题。在函数或不等式问题中，使用极值或值的取值范围，一般需要进行分离，从而使问题的解不是静态常数，有些问题需要将两种或者两种以上的解题方法综合运用，并要根据不同题目的特点选取不同的解题方法，进而得到问题的解。

综上所述，高中数学的恒成立问题的解题方法多种多样，像是构造函数法、分离参数法、数形结合法、最值法等，在解该类问题时，不能将解题思路局限在某一个解题方法上，而要根据题目的特点，选取合适的解题策略。为了让学生能够快速而准确地找到解题思路，作为高中数学教师，我们在课堂教学时，要培养学生的数学思维，培养他们养成善于观察、善于总结的好习惯，掌握一定的解题策略与技巧，从而在面对数学问题时，能够轻松地找到解题思路，并进行求解。

[参考文献]

[1] 何桂琴.关于恒成立问题的思考与解决[J].高中数理化，2013（24）.

[2] 邓卫和.浅析“有解”与“恒成立”问题[J].考试周刊，2014（87）.