二项式定理常见题型剖析

陈静

二项式定理研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察、归纳能力的好题材. 二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系数等方面内在联系的重要定理，集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化. 它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式.

二项式定理在高考中每年一道题，试题难度不大，与教材习题相当. 因此，学习时要重视基础，熟练掌握二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等原理，不必追求难解题.

系数问题

例1 [（xy-yx）4]的展开式中的[x3y3]的系数为________.

解析 方法1：[（xy-yx）4=xy（x-y）4]

[=x2y2（x-y）4，]

故只需求出[x-y4]的展开式中含[xy]的项的系数.

易知所求为[C24?（-1）2=6].

方法2：[Tr+1=Cr4?（xy）4-r?（-yx）r]

[=（-1）r?x4-r?y4-r2?yr?xr2=（-1）r?Cr4?x4-r2?y2+r2.]

依题意得，令[4-r2=3]且[2+r2=3]，解得，[r=2].

所以展开式中的[x3y3]的系数为[C24?（-1）2=6].

点拨 先化简后计算是解答某些数学问题的基本策略，方法1通过对底式进行因式分解化简使得问题简单化，方法2则是直接套用展开式的通项公式. 若对二项式展开式的性质有更深入的理解，结合有关字母次数的对称性也可直接得出展开式中[x3y3]的系数为[C24（-1）2=6].

例2 二项式[（3x3+1x）n]的展开式的各项系数的和为[p]，所有二项式系数的和为[s]，若[p+s=272]，则[n]等于多少？

解析 若[（3x3+1x）n=a0+a1x+a2x2+???+anxn]，

则[p=a0+a1+???+an]，[s=C0n+…+Cnn=2n].

令[x=1]得，[p=4n].

又[p+s=272]，

即[4n+2n=272?（2n+17）（2n-16）=0]，

解得，[2n=16或2n=-17（舍去）].

[∴n=4].

点拨 要正确区分各项系数与各二项式系数的概念，并知道如何求解. 二项式系数的和为[C0n+C1n+C2n][+…+Crn+…+Cnn=2n]，各项系数和只需令各个字母的值为1即可.

例3 对于任意实数[x]有[x3=a0+a1（x-2）][+a2（x-2）2][+a3（x-2）3]，则[a2=____].

解析 方法1：换元法.

设[x-2=t]，则[x=t+2].

代入已知等式得，[（t+2）3=a0+a1t+a2t2+a3t3].

所以[a2]为[（t+2）3]的展开式中含[t2]的项的系数，即[a2=C13?2=6].

方法2：左右两边[x2，x3]项的系数对应相等得，

[0=a2+a3?C13?（-2）1，a3=1]，故[a2]=6.

方法3：[x3=2+（x-2）3]. 由二项式定理知，展开式中[（x-2）2]的系数为[C23?2=6].

点拨 两多项式恒等，就是同次幂项系数对应相等，据此有多种渠道求解. 方法1、方法3就思路而言本质相同，两种方法均体现了整体思想.

常数项问题

例4 如果[（3x2-2x3）n]的展开式中含有非零常数项，则正整数[n]的最小值为 .

解析 [Tr+1=Crn（3x2）n-r（-2x3）r=Crn3n-r（-2）rx2n-5r]，

依题意知，[2n-5r=0]有解.

因为[n]为正整数，[r]为小于[n]的自然数，且[r=25n]，

所以[n]的最小值为5.

点拨 对展开式中项的特征进行考查是常考题型. 本题涉及整除问题，要使[n]与[r]满足范围，[n]一定是5的倍数，所以[n]的最小值为5.

例5 求[（1+x3）6?（1+1x4）10]展开式中的常数项.

解析 [（1+x3）6?（1+1x4）10]的展开式的通项为[Cm6?xm3?Cn10?x-n4][=Cm6?Cn10?x4m-3n12]，其中[m]=0，1，2，…，6，[n]=0，1，2，…，10，

当且仅当[4m=3n]，即[m=0，n=0，]或[m=3，n=4，]或[m=6，n=8，]时，

故展开式中的常数项为[C06?C010+C36?C410][+C66?C810][=4246].

例6 [（1+x+x2）（x+1x3）n]的展开式中没有常数项，[n∈N*]，[2≤n≤8]，则[n]= .

解析 [（x+1x3）n]的展开式的通项为

[Tr+1=Crn?xn-r?1x3r=Crn?xn-4r].

要使[（1+x+x2）（x+1x3）n]的展开式中没有常数项，只需[（x+1x3）n]展开式中没有[x0，x-1，x-2]项即可.

故[n-4r≠0，-1，-2]，

所以[n≠4r，n≠4r-1，n≠4r-2， 2≤n≤8].

由数的分类知，[n=4r-3]，所以[2≤4r-3≤8]且[r]为整数，解得[r=2，n=5].

点拨 在处理这类题目的时候，要用到一些整数的知识，如互质概念、整除问题、整数分解成质因数、余数问题等.

赋值求值问题

例7 若[（1-2x）2016=a0+a1x+…+a2016x2016][（x∈R）]，

则[a12+a222+…+a201622016]=______.

解析 取[x=12]得，

[a12+a222+…+a201622016=][（1-2×12）2016-a0].

取[x=0]得，[a0=1].

故所求式子的值为[-1].

点拨 本题涉及展开式中的系数问题，除了通项公式外，可以从系数的特征出发采用行之有效的手段. 本题看上去很复杂，但将已知式的右端和所求式进行比对，容易想到对[x]进行赋值求解.

[练习]

1. [（1+x）n=a0+a1x+…+anxn]，若[a1+a2+…+an]=63，则展开式中系数最大的项是 .

2. 在[（x3+1x）20]的展开式中，[x]的幂指数是整数的项共有 项.

3.若[（x-1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4]，则[a0]+[a2][+a4]的值为 .

[参考答案]

1. 令[x=1]得，[2n=a0+a1+a2+…+an].

∵[a0=C0n=1]，且[a1+a2+…+an=63]，

∴[2n=64]，即[n=6].

则[（1+x）n]的展开式有7项，展开式中系数最大的项是第4项，[T4=C46x3=20x3].

2. 展开式的通项是[Tr+1=Cr20?x20-r3?x-r2=Cr20?x40-5r6.]

因为[x]的幂指数是整数，则[40-5r]必须是6的倍数.

所以[r]=2，8，14，20，即[x]的幂指数是整数的项共4项.

3. 令[x=1]，则[a0+a1+a2+a3+a4=0]；

令[x=-1]，则[a0-a1+a2-a3+a4=16].

则[a0+a2+a4=8].