关于“机械能守恒定律与参考系的选择”的进一步探讨

吴英

程守洙等编著的《普通物理学》教材中，对机械能守恒定律做了如下描述：“机械能守恒指系统不靠外力而保持在转换过程中的机械能不变.如果一个系统内只有保守力作功，其他内力和一切外力都不作功，则系统内各物体的动能和势能可以相互转化，但机械能的总值保持不变”.选择不同的参考系，同样的物理过程，系统机械能是否守恒出现过一些讨论，也得到了相应的结论，但对于“机械能守恒与参考系选择有关”的结论未作更进一步分析.

一、机械能守恒定律的数学推导

根据质点系的动能定理，质点系外力和内力作功的总和等于系统动能的增量，即

Ae+Ai=ΔEk（1）

其中Ae表示系统外力所作的总功，Ai表示系统内力所作的总功.系统内力所作的功又分为保守内力所作功Aic和非保守力内力所作功Aid，即

Ai=Aic+Aid（2）

保守内力作功总可以用系统势能增量的负值表示

Aic=-ΔEp（3）

（1）～（3）联解可得

Ai+Aid=ΔE（4）

即外力与内非保守力作功的总和等于系统机械能的增量.当外力不作功时Ai=0时，要使机械能的增量为零ΔE=0，则必须Aid=0，即系统内非保守力不作功.因此，系统机械能守恒的条件必须是外力不作功且内非保守力不作功，即系统内只有保守力作功，系统内部各物体间只有动能和势能的相互转化，但机械能的总量保持不变.

二、例题详解

以速度为v0做匀速运动的车厢里固定一个高为h，倾角为θ的光滑斜面，斜面顶端有一质量为m的小物体自顶端静止下滑到底端，分别以车厢和地面为参考系考虑物体的机械能的变化.

以车厢为惯性参考系，物体受到重力，斜面对物体的支持力，由于N的方向与始终与物体位移方向垂直，因此做功为零，只有重力做功，物体的机械能保持不变，有

mgh=12mv21（5）

以地面为参考系分析物体的初末状态，初速度v0，末速度为v1相对车厢速度与v0的矢量和v，根据矢量运算法则可得

v=v20+v21+2v0v1cosθ（6）

故物体在斜面顶端的机械能为

E1=12mv20+mgh（7）

在斜面末端的机械能为

E2=12mv2=12mv20+12mv21+mv0v1cosθ（8）

（5）代入（8）有

E2=12mv20+mgh+mv0v1cosθ（9）

可知末态的机械能大于初态的机械能.在运动过程中物体的机械能有了增加，增量为

ΔE=E2-E1=mv0v1cosθ=mv02ghcosθ（10）

进一步分析上述问题发现不同的参考系中N做功的情况不同.从车厢参考系转到地面参考系，N的方向和大小没有改变，在车厢参考系中，物体的位移是沿斜面的直线，但在地面参考系中，N与位移方向夹角小于90度，N做正功，因此机械能不守恒.具体证明如下：

N在X方向的分量Nx=mgcosθsinθ（11）

N在Y方向的分量Ny=mgcos2θ（12）

物体在X方向的加速度ax=gsinθcosθ（13）

物体在Y方向的加速度ay=-gsin2θ（14）

物体的运动时间与h的关系为h=12ayt2，

所以t=1sinθ2hg（15）

在地面参考系中，物体在x方向和y方向的位移分别为

x=v0t+12axt2=v0sinθ2hg+hcosθsinθ，y=-h（16）

力N对物体所做的总功为A=Nxx+Nyy（17）

代入整理可得A=mv02ghcosθ（18）

这就是（10）式选用不同参考系时机械能增量的来源.

三、结论

满足机械能守恒的条件“只有保守内力作功或在每一元位移中外力和非保守内力所作元功之和均为零”，机械能守恒定律在任何惯性系中都是适用的.由于位移的相对性使功也具有相对性，因此机械能是否守恒与参考系的选择是有关系的.同一问题选用不同的惯性参考系可能会有不同的结果.