极坐标系与参数方程教学中关键性问题解析

杨龙婷　付现亚

众所周知，“极坐标系与参数方程”是高中数学中的一大教学难点，更是初等数学与高等数学衔接过渡的重要节点，故而高中数学老师或多或少都会给班级学生讲授与“极坐标系与参数方程”相关的知识内容，以此达到教学目的.本文以“极坐标系与参数方程教学中关键性问题解析”为题，阐明了“极坐标系与参数方程”的主要内容，随后结合具体例题论述了教学“极坐标系与参数方程”过程中常见的问题，旨在有效解决学习过程中遇到的疑难问题.

一、“极坐标系与参数方程”的主要内容

1.极坐标系的主要内容

生活中常常用距离和方位两种元素确定点的位置，将这种方法“数学化”之后便是“极坐标系”的雏形.高中数学教材中关于“极坐标系”延伸了多样内容，具体为：极坐标系的概念；借互化两种坐标系方程的方法让学生明晰了解极坐标方程的形式；对一些简单曲线、过极点直线、极坐标方程推导等做以阐释，让学生更加清楚认知极坐标系；教学过程中重视培养数学思维，使得学生会求简单曲线的极坐标方程，并明确其价值意义.

2.参数方程的主要内容

在“极坐标系和参数方程”中，数形结合、运动变化、分解合成等数学思想应用范畴较为广阔，所以数学老师可借此培育学生的辩证思维.“参数方程”涵盖内容众多，不仅涉及直线、圆、圆锥曲线方程等内容，而且要求教会学生通过优化参数的方式求出已知曲线方程的参数形式，由此等价互化参数方程与普通方程.除此之外，老师也适时运用现实生活实例，利用数学习题加深并巩固学生对参数方程的学习和理解.

二、结合例题论述教学“极坐标系与参数方程”过程中常见的问题

在“极坐标系和参数方程”的教学过程中，数学老师必须在高考大纲的指导下开展针对性教学，以便学生能够掌握该知识点的考试方向，从而降低学习的难度.基于此，此处选定的几道例题都是高考中曾出现的真题，以期“极坐标系和参数方程”的学习能够深入学生之心.

1.在极坐标系下探求图形形状

例1极坐标方程ρ=cosθ和参数方程x=-1-t，

y=2+3t （t为参数），这两个方程所表示的图形分别是什么？

解析直角坐标和极坐标可以互化，根据公式可知，ρ=cosθ等价为（x-0.5）2+y2=0.25，表示圆心在（0.5，0）半径为0.5的圆.再根据参数方程与普通方程的转化规则，可知，该参数方程就是直线方程.因此这两个方程所代表的图形就是圆和直线.

点拨做好此类题目，一是要熟练记忆简单图形的曲线方程，二是利用极坐标转化为直角坐标、参数方程转化为普通方程的办法求出答案.

2.真实掌握两类转化

例2已知圆C的参数方程为x=cosα，

y=1+sinα （α是参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，求直线l与圆C的交点的直角坐标.

解析将圆的参数方程转化为普通方程x2+（y-1）2=1，直线的直角坐标方程为y=1，联立两个方程即可解得交点的直角坐标为（1，1），（-1，1）.

点拨对于这种类型的题目，老师可教导学生学会用交点含义，转化成平面直角坐标系的方式解题，亦可用解析几何知识求解答案.

例3给定曲线C的参数方程为x=2+3cosθ，

y=-1+3sinθ，其中θ为参数，如若直线方程为x-3y+2=0，则曲线C上到直线距离为71010的点有多少个？

解析曲线C的参数方程可以转化为普通方程，即（x-2）2+（y+1）2=9，所以可得曲线C是圆心在（2，-1），半径为3的圆.此外，它和直线相交，圆心到直线的距离为71010，3-71010<71010，故而经过圆心，且与直线l平行的直线与圆相交的两个点符合题意.

3.感受直线的参数方程，体会参数所代表的几何意义

例4在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22t，

y=5+22t （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的单位长度，并且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）圆C的方程为ρ=25sinθ.①求圆C的直角坐标方程；②设圆C与直线l交于点A、B，如若点P的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|.

解析①圆C的直角坐标方程为：x2+（y-5）2=5；

②方法一：把直线参数方程转化为普通方程，即x+y-3-5=0，将此方程与圆C的直角坐标方程相联立，计算得出交点坐标为（1，2+5），（2，1+5），将这两个交点坐标代入两点之间距离公式，得出：|PA|+|PB|=32.

方法二：题目中的直线一定经过定点P，所以可以把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得出：（3-22t）2+（22）2=5，即t2-32t+4=0.在此基础上根据图形和参数t的几何

意义得出：|PA|+|PB|=|t1+t2|=32.

4.综合极坐标系与参数方程

例5已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ，

y=3sinφ （φ是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，π3）.

（Ⅰ）求点A，B，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.

解析由已知可得

A（2cosπ3，2sinπ3），B（2cos（π3+π2，2sin（π3+π2）），

C（2cos（π3+π），2sin（π3+π）），

D（2cos（π3+3π2），2sin（π3+3π2）），

即A（1，3），B（-3，1），C（-1，-3），D（3，-1）.

（Ⅱ）设P（2cosφ，3sinφ），

令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2，

则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.

因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52].

点拨对于此种类型的题目，老师必须强调基础教学，夯实学生知识基础，运用好转化思想.

总而言之，高中数学老师在开展“极坐标系和参数方程”这一知识点的教学时，老师必须适宜渗透“转化”的数学思想，紧扣教材、悉心讲解，从而满足学生需求，让学生把此类知识点掌握得更加娴熟.