高中常用数学思想方法

敏卓文

如何有效地提高高中数学的教学水平，提高学生的数学意识，都需要从数学思想入手。本文对高中数学中常见的数学思想进行了详细的分析，以期对高中数学教学有所帮助。

一、函数与方程思想

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学问题，然后通过解方程或不等式来解决问题。函数与方程思想是高中阶段数学常用思想方法之一，在填空题、解答题中出现的几率都比较大。在高中数学中，应用函数思想的题型有以下几种：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最值等问题；实际问题，建立合理的数学模型和函数关系式，利用函数（不等式）的有关知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看做是n的函数，可以用函数知识解决。

例如，设不等式2x-1>m（x2-1）对任意的m∈[-2，2]均成立，求实数x的取值范围。

解析：常规思路，将该问题看成是关于x的不等式，对m进行讨论来解题，但是操作过程较繁琐，如果换个角度，将自变量看成m，而x作为参数再来解题就会简单得多。即关于m的一次不等式 （x2-1）m-2x+1<0在[-2，2]上恒成立。构造关于m的函数f（m）=

（x2-1）m-2x+1，由求出x的范围即可。

通过求解显然转换变量后再利用函数思想来解题就方便多了，将原来的自变量作为参数，原参数看作自变量，巧妙灵活地利用函数思想解决不等式问题。

二、分类讨论思想

分类讨论思想在函数问题中应用比较广泛，在遇到用一类方法或从同一个角度或在整体范围内解决不了的问题时，常就应用分类讨论思想来解题。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它体现了将整体问题局部化，将一道复杂的数学题目分解成几个简单的问题，从各个小的方面去解题，从可以确定性质的各类情况下去解决问题，最后再给出总结性的综合结论。常见需要讨论的题型有：含绝对值问题、含参问题、图像不确定的问题、公式或性质有限制的问题（如等比数列求前n项和时，若公比不确定，则需讨论公比是否为1）、其他实际问题等。

例：已知a是实数，函数f（x）=

2ax2+2x-3-a，如果y=f（x） 有零点，求实数a的取值范围。

解析：从函数解析式的形式上来考虑，不能直接应用根的判别式来求解，因为二次项前的系数为参数，故不能确定该函数是二次函数还是一次函数，所以该题要讨论的就是二次项的系数是否为零。① a=0时，显然函数有零点，符合；② a≠0 时，只需?≥ 0即可。

变式：已知a是实数，函数 f（x）=

2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。（需再讨论该区间上的零点个数）

分类讨论思想能很好地锻炼学生的逻辑思维能力，分析问题、解决问题的能力。在进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象时确定的，标准是统一的，科学地划分，不越级讨论，做到“不重不漏”；解答分类讨论问题时，基本方法和步骤是：确定讨论对象和所讨论的对象的全体范围；确定分类标准，正确分类；对所分类逐步进行讨论，分级进行；归纳总结，得出结论。

三、等价转化思想

等价转化思想其本质就是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种思想方法。通过不断转化，把不熟悉的、不规范的、复杂的问题转化为熟悉的、规范的、简单的问题。 等价转化思想具有灵活性和多样性的特点，因此在利用等价转化思想时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，这样才能使转化过程省时省力，才能有效提高解题的能力和水平。

例：已知cosα= ， cos（α+β）=，且α，β∈（0， ），求cosβ的值。

解析：很多学生初拿这道题的时候，都习惯于将cos（α+β）=拆开得到 cosαcosβ-sinαsinβ=，从而得到sinβ，cosβ间的一个关系式，下面的问题就剩应用sin2β+cos2β=1来求cosβ的值了。显然，这个方法是行得通的，只不过这肯定不是最优法。通过观察题目，应该能够发现，已知角α，α+β和未知角β之间是有直接关系的，根据常规的转化思想，显然未知角β可以转化成用已知角α，α+β来表示，即 β=（α+β）-α，从而 cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，接下来的求解就简单明了了。

在上例中，转化与化归的思想的优势很好地得到了体现，通过化未知为已知后，将解题过程直接化、简单化。

不难发现，各类数学思想方法之间其实都是相辅相成的，除了以上这些常用数学思想方法外，我们在平时解题中还经常用到配方、换元、分析、综合、反证、演绎、待定系数法等其他常用方法，在这就不一一列举了。

中学数学教学大纲中明确指出：数学基础知识是指数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法。数学思想和方法纳入基础知识范畴，足见数学思想方法的教学问题已引起教育部门的重视，也体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识。所以，在日常教学中我们要强化学生数学思想方法应用的能力，有意识地应用数学思想方法去分析问题、解决问题，这样在提升他们数学能力的同时，也能提高他们的数学素养。