利用构造函数法求解不等式问题

张敏

[摘 要] 构造函数法是一种重要的数学方法.不等式问题是高考中的热点和难点.恰当地构造函数是解决不等式问题的有效途径.

[关键词] 构造函数法 不等式

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0056

构造函数法是解决不等式问题的有效方法，如何构造函数显得尤为重要.下面举例谈谈构造函数法在解不等式问题中的应用.

一、比较函数值大小

这类题型主要采用从结论入手来构造函数的方法，即分析结论的结构特点，建立可导的函数f（x），再利用f（x）的导函数，判断函数的单调性，从而比较出函数值的大小.

【例1】 若定义在 R 上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x），则f（2011）与f（2009）e2的大小关系为（ ）.

A.f（2011）>f（2009）e2

B.f（2011）=f（2009）e2

C.f（2011）

D.不能确定

分析： 构造函数，令F（x）=e-xf（x），则F′（x）=e-xf′（x）-e-xf（x）=

e-x（f′（x）-f（x））>0，∴F（x）

单调递增，

∴F（2011）>F（2009），即e-2011f（2011）>e-2009f（2009）

，

∴f（2011）>f（2009）e2，故答案为A.

二、求函数不等式的解集

对于形如f（x）>g（x）（或f（x）

化为f（x）-g（x）>0（或<0），再构造新函数h（x）=f（x） -g（x），利用h′（x）来求解.

【例2】 定义在 R 上的函数f（x）满足：f′（x）>1-

f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，求不等式exf（x）>ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集.

分析： 由题意可知，不等式为exf（x）-ex-5>0，构造函数，设g（x）=exf（x）-ex-5，

∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=

ex[f（x）+f′（x）-1]>0，

∴函数g（x）在定义域上单调递增.

又∵g（0）=0，

∴g（x）>0的解集为{x|x>0}.

三、求参数的取值范围

求函数不等式中参数的取值范围是一类重点、热点问题.虽然函数不等式问题有多种解法途径，但通过分离参数，可把问题转化为a>f（x）（或a

【例3】 已知f（x）=lnx-x+a+1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围.

分析： 由题意知，当x>0时，

f（x）=lnx-x+a+1≥0，

∴a≥-lnx+x-1.

构造函数，令g（x）=-lnx+x-1，

则g′（x）=- 1 x +1= x-1 x .

令g′（x）=0，解得：x=1.

∵当0

当x≥1时，g′（x）>0，∴g（x）在[1，+∞）上为增函数，

∴g（x）min=g（1）=0，

∴a≥g（1）=0.

∴a的取值范围为[0，+∞）.

四、证明不等式

对于不等式的证明，大部分学生都望而生畏，找不到解决问题的突破口.很多不等式都有函数的背景，如果能挖掘已知函数与不等式的关系，根据所要证明的不等式，恰当地构造函数，利用函数的单调性、最值、有界性等，可以达到证明不等式的目的.

【例4】 当x≥1时，x-lnx-1≥0，

求证： 1 2 x2+ax-a≥xlnx+ 1 2 .

证明： 原不等式可化为 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0（x≥1，a≥0）.

构造函数，令G（x）= 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ，则G′（x）=x+a-lnx-1且G（1）=0.

由题意可知，当x≥1时，x-lnx-1≥0，

则G′（x）=x+a-lnx-1≥x-lnx-1≥0，

∴G（x）在[1，+∞）上单调递增，

∴G（x）≥G（1）=0，

∴ 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0，故原不等式成立.

可以看出，对于不等式的问题，我们可以通过构造恰当的函数，使问题迎刃而解.其关键是如何构造函数；构造什么样的函数.这就要求我们结合函数的性质和特点，发展思维，反复总结、提炼构造规律.比如，对于左右两边结构相同（或者可化为左右两边结构相同）的不等式，构造函数f（x），使原不等式成为形如f（a）>f（b）的形式；对于形如f（x）>g（x）的不等式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）；等等.

（责任编辑 钟伟芳）