对2013年江西高考文科数学试卷第20题的探究

魏东升　罗鹃花

[摘 要] 解析几何是高中数学的一个重要模块，其核心内容是直线与圆锥曲线.在考查学生基础、能力、素质、潜能的考试目标指导下，每年高考数学对解析几何的考查都占较大的比例.而最值、范围、定点、定值问题是其考查的主要内容，2013年江西高考文科数学试卷第20题就很好地体现了这一点.

[关键词] 高考 圆锥曲线 解题 探究

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0048

笔者通过对2013江西高考文科数学试题的研究，发现第20题所要证明的结论对椭圆来说具有一般性，为方便讨论，引原题如下：

椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）

的离心率e= 3 2 ，a+b=3.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如右图，A和B是椭圆C的长轴顶点，D是短轴顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值.

解答：

略.

笔者关心的是，如果把“e= 3 2 ，a+b=3”这两个条件省略，即对于一般的椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）

，（Ⅱ）中的结论还能成立吗？笔者的回答是肯定的，证明如下：

设直线lBP：y=k（x-a）（由题意可知k≠0，± b a ），易知lAD：y= b a x+b，联立lBP和lAD的方程，可求得M（ a2k+ab ak-b ， 2abk ak-b ）

，将lBP的方程代入椭圆方程 x2 a2 + y2 b2 =1

中，可得P（ a3k2+ab2 a2k2+b2 ， -2ab2k a2k2+b2 ）

.设N（t，0），易知D（0，b）.由D，P，N三点共线可知： 0-b t-0 =

-2ab2k a2k2+b2 -b

a3k2+ab2 a2k2+b2 -0

.解之可得N（ a3k2-ab2 a2k2+2abk+b2 ，0），从而

kmn= a2k2+2abk+b2 2a2k+2ab

，所以2m-k= a2k2+2abk+b2 a2k+ab -k=

abk+b2 a2k+ab =

b a

（定值）.

于是得到：

结论1 椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）

，A和B是椭圆C的长轴顶点，D是短轴顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，则2m-k为定值.

特别地，当a=2，b=1时，就是2013年江西高考文科数学试卷第20题.

这个结论对椭圆来说，具有一般性，那是否同样适用于双曲线呢？带着这个疑问，笔者作了如下探索：

设直线lBP：y=k（x-a）（由题意可知k≠0），易知lAD：y= b a x+b，联立lBP和lAD的方程，可求得M（ a2k+ab ak-b ， 2abk ak-b ）

，将lBP的方程代入双曲线方程 x2 a2 - y2 b2 =1

中，可得P（ a3k2+ab2 a2k2-b2 ， 2ab2k a2k2-b2 ）

.

设N（t，0），易知D（0，b）.由D，P，N三点共线可知： 0-b t-0 =

2ab2k a2k2-b2 -b

a3k2+ab2 a2k2-b2 -0

.解之可得N（ a3k2+ab2 a2k2-2abk-b2 ，0），从而kmn=

-a2k2+2abk+b2 2ab

，而此时2m-k=

-a2k2+2abk+b2 ab -k=

-a2k2+abk+b2 ab

，显然不再是一个定值.

由此可知，椭圆的这个一般性结论不能够推广到双曲线中，至于是否可以推广到抛物线中，请感兴趣的读者自己验证.值得一提的是，虽然对双曲线来说，2m-k不是定值，但易得m-k+ a 2b k2

为定值，证明略.

于是得到：

结论2 双曲线方程C： x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）

，A和B是双曲线C的实轴顶点，D是虚轴顶点，P是双曲线C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，则m-k+ a 2b k2为定值.

（责任编辑 钟伟芳）