用好教材，培养学生的建模能力

郑三香

[摘 要] 课程标准指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.因此日常教学中培养学生的建模能力显得尤为重要.本文就如何利用好教材培养学生的建模能力谈谈几点体会.

[关键词] 教材 培养 建模能力

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0010

数学来源于生活，又服务于社会各个领域.新课标精神力求改变学生学完数学知识后无法用或不会用、甚至觉得毫无用处的局面.因此，日常教学活动中培养学生的建模能力，使学生学会数学建模显得尤为重要.

对复杂的实际问题进行分析，发现其中可以用数学语言来描述的关系或规律，把这个实际问题转化成一个数学问题，这就称为数学模型.数学建模的一般过程大致为：实际问题抽象成数学模型、对模型进行求解、对模型解答翻译回实际问题中验证.整个流程完成了从实际问题到数学模型，再从数学模型回到实际问题的循环、完善的过程.

笔者就如何利用好教材培养学生的建模能力谈谈几点体会.

一、在知识点的学习过程中让学生体验建模过程

数学教材中的概念、定理、公式等都是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型.这些知识的抽象过程其实就是数学的建模过程.教师在教学这些内容时可以有意识地带领学生体验这一过程，从而培养他们的建模能力.如在学“角”的概念时，教材中举了钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、三角尺两条相交的边线的实例，教师可以引导学生把它们抽象成有公共端点的两条射线，再让学生把抽象得到的图形画出来，就得到了角的图形，用文字表述出来就是“角”的概念.又如在学“等式的性质”时，教材采用了在平衡的天平两边同时增（减）相同的量天平还能保持平衡的实例，教师可引导学生把天平两边的物体质量分别用字母a、b表示，增（减）的质量用字母c表示，把“平衡”抽象成“=”号，于是就建成了等式性质的模型.

二、在例（习）题的教学过程中训练学生的建模能力

1.从解简单的建模题入手，树立学生的信心

初中数学教材中常见的建模类型不少.如方程模型、不等式模型、函数模型、三角模型、统计模型等.但笔者在教学实践中发现，当学生遇到生活化的数学问题需要建模来解决时，经常会感到底气不足，不知从何下手.其原因是缺乏解建模题的成功体验.因此要树立他们的信心，就应该让他们从解简单的建模题开始.教材中习题的编排其实是有这种意图的.如人教版初中教材“一元一次方程”这章中安排了一道题：“甲种铅笔每枝0.3元，乙种铅笔每枝0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20枝，两种铅笔各买了几枝？”.这些问题生活背景简单，语言直接，模型明显，解决起来要经历数学建模的过程.教师要用好这些练习，让学生在解决这些问题中得到充分锻炼，为解决复杂的建模问题打下基础，获得成功的体验，同时树立信心.

2.从文字冗长的建模题中培养学生的信息处理能力

生活化的数学问题往往文字冗长、数据众多、信息量大、专业术语多，问题背景涉及生活的各个领域.如七年级的应用题就有电信资费问题、商品利润问题等.因此教师在平时教学时对教材习题中出现的一些专有名词如与商品销售有关的“营业额、营业成本、利润及利润率、折扣率”与储蓄有关的“本金、利息、利率、期数、本息和”等应作出详细的说明，同时要让他们弄清楚其间存在的数量关系.在具体教学这类题时可以从以下几方面着手培养学生的建模能力.

（1）让学生学会提炼有用信息

【例1】 （人教版教材）甲、乙两商店以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案.在甲店累计购买100元商品后，再购买的商品按原价的90%收费；在乙店累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的95%收费.顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？审题时可引导学生仔细读题，理解题意，提炼出这些有用信息：“两店标价同.购物额>50元后再购商品乙店九五折；购物额>100元后再购商品甲店九折”.同时要求学生在草稿纸上写下来.题目内容简化后，再作进一步分析建模就变得更容易了.

（2）让学生学会借助表格来分析

对于有些数量关系复杂、数量间有联系的题目，教师可以让学生学习借助表格来分析整理数据，从而能从复杂的数量关系中清楚地找到有关系的量，为建立数学模型扫清障碍.

【例2】 （人教版教材）长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？因为销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，所以设产品重x吨，原料重y吨.列表分析如下：

学生通过列表分析整理数据，相等关系一目了然，为建模开辟了道路.

（3）让学生学会借助图形来分析

【例3】 （人教版教材）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？设有x人参加聚会，笔者引导学生把参加聚会的人数x抽象成直线上的点的个数，每一个点都分别和除了它本身以外的点组成一条线段，因为重复计算，则握手的次数相当于该直线上线段的数目，于是由建立几何模型得到 x（x-1） 2 =10

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三、在解决实际问题中锻炼学生的建模能力

《课程标准及解读》中指出：数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行运算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象.因此我们可以结合教材让学生利用所学的数学知识来解决生活中的实际问题，锻炼学生的建模能力.例如，人教版教材《锐角三角函数》这章中安排了“制作测角仪，测量树的高度”的数学活动.教师可以布置学生以小组为单位带上自己制作的简易测角仪、皮尺等测量工具到操场上测一棵树的高度.学生们经测量取得了所需要的数据：仰角α、测量者到树根的距离m、测量者的身高h，回到教室根据所学的解直角三角形的知识，小组交流、讨论、画图、建模，得到了要测树的高度用公式表达为h+m·tanα（注：如图所示，∠ADE=α、BC=m、CD=h）.

又如还可以让学生用角的知识制作正五角星，用统计知识对一次半期考试全班的数学成绩进行数据分析等等.教材中提供了丰富的学生活动题材，只要教师多创造机会放手让学生用数学知识去解决生活中的实际问题，他们的建模能力就能在解决问题中不断提高.

当然，教师首先必须吃透教材的各个版块，领会教材设计的意图，从中挖掘建模教学的素材，认真钻研建模教学的方法，才能充分发挥教材的建模教育功能，使学生的建模能力得以提高.

（责任编辑 黄桂坚）