提炼数学“核心问题”的四个步骤

张卫星

美国著名数学家哈尔莫斯曾说过：“问题是数学的心脏。”问题的实质是一种任务，它可以驱动学生主动去学习。数学教学中的“核心问题”是直指数学本质，涵盖教学重点，需要学生深入思考，便于学生开展自主学习、探究学习和合作学习的一个或两个问题。“直指数学本质”表明它具有浓郁的数学味，“需要学生深入思考”表明它具有较强的挑战性，“便于学生探究学习”表明它具有恰当的开放度。数学“核心问题”还是一节课的“课眼”、一节课的“主线”、教材的重难点、学习的困惑点、数学思想方法的聚焦点、教师钻研教材的着力点，对课堂教学起到牵一发而动全身的作用。因此，提炼每节数学课的“核心问题”，并围绕“核心问题”的解决展开教学，在当下显得尤为重要。那么，如何提炼数学教学中的“核心问题”呢？笔者认为，一般可以按以下四个步骤去提炼。下面，笔者以“平行与垂直”一课为例，谈谈数学“核心问题”的提炼过程。

一、 研读教材，罗列问题

问题是为教学服务的，要想提炼“核心问题”，必须要深入研读教材。只有把教材的纵向联系、横向联系、公开信息和背后秘密都研读透了，才有可能设计并提炼出有价值的“核心问题”。因此，笔者认为提炼“核心问题”的第一步就是研读教材，在研读的基础上从教材导语和教材知识点两个层面罗列或设计出课堂教学需要解决的一系列问题。

例如，“平行与垂直”是人教版四年级上册数学第五单元第一课时的内容，是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，是在学生认识了直线、线段、射线的性质，以及学习了角及角的度量等知识的基础上学习的。“平行与垂直”在生活中有着很大的应用。在“空间与图形”的领域中，“平行与垂直”是学生以后认识平行四边形、梯形及长方体、正方体等几何形体的基础，同时也为培养学生的空间观念提供了一个很好的载体。教材编排如图1。

教材编写者用较为丰富的版面展示了学生学习的过程，其中的学习导语主要由以下5个问题组成：

1.在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？

2.把没有相交的两条直线再画长一些会怎样？

3.你能举出生活中一些有关平行的例子吗？

4.量一量，所画的两条相交直线组成的角分别是多少度？

5.你能举出一些有关垂直的例子吗？

同时，“平行与垂直”的概念非常重要，能否掌握直接影响到后续知识的学习。为此，笔者设计出如下13个有助于学生掌握概念的有效问题：

1.两条怎样的直线互相平行？

2.什么是平行线？

3.互相平行用什么符号表示？

4.什么是“同一平面”？

5.什么是“不相交”？

6.什么是“互相”？

7.互相平行有几种情况？

8.两条怎样的直线互相垂直？

9.什么是垂线？

10.什么是垂足？

11.互相垂直用什么符号表示？

12.互相垂直有几种情况？

13.互相垂直和相交有什么区别？

可见，当教师把教材研读透了，数学教学问题的设计与罗列就会水到渠成。

二、 分析问题，明晰教法

问题罗列好了，教师就必须分析这些问题，通过分析就能明白教材的编排意图及概念的内涵及外延。当我们把问题分析透了，教学思路也就会自然而然地清晰起来。当然，分析问题需要教育智慧的投入，没有智慧的投入，问题分析就会浅尝辄止。因此，教师在分析问题时要静下心来，厘清问题的来龙去脉。

例如，教材提供的第1个问题：“在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？”既是让学生积累数学基本活动经验，又是让学生体验分类思想；第2个问题：“把没有相交的两条直线再画长一些会怎样？”其目的就是让学生学会验证；第3个问题：“你能举出生活中一些有关平行的例子吗？”其目的是拓展“平行”这一概念的外延；第4个问题：“量一量，所画的两条相交直线组成的角分别是多少度？”其目的也是让学生学会验证；第5个问题：“你能举出一些有关垂直的例子吗？”其目的也是让学生拓展“垂直”这一概念的外延。教材提供的这5个问题不仅有序——按知识发生的过程设计，而且有关联——前一个问题是后一个问题的基础。同时，这5个问题还给我们提供了一种教学思路，即“平行与垂直”的教学要分两个阶段进行。第一阶段，先让学生在一张纸上随意画两条直线，然后对部分学生作品进行展示和分类，接着对不相交的几种情况进行延长式验证，在此基础上得出互相平行的相关概念及表示方法，最后让学生举出生活中一些平行的例子，以举例来促进学生对概念外延的认识，同时也让学生认识到平行的情况有很多种。第二阶段，先定位于相交成直角的两条直线，然后用量角器或三角尺进行验证，在此基础上得出互相垂直的相关概念及表示方法，最后让学生举出生活中有关垂直的例子，促进学生对概念的消化，同时也让学生认识到垂直的情况多种多样。由此可见，教材中展示的5个问题，内涵真的很丰富。

而笔者根据教材知识点设计的13个数学问题，比较全面、专业，可以让学生对“平行与垂直”这两个概念的认识更规范、更准确。但这13个问题比较琐碎，需要教师智慧地整合。事实上，只有解决了这13个问题，才能让学生真正认识“平行与垂直”的内涵和外延，从而让后续的练习与教学更为有效。因此，这13个问题必须逐一落实，不能打折扣。

综上所述，当我们把罗列的问题分析清了，教路和学路就会清晰地展示在我们眼前。

三、 梳理问题，确定权重

梳理问题，即对问题的内在联系进行沟通，理清它们的前后联系、价值大小等。一般来说，决定核心知识产生和发展过程的问题往往权重最大。因此，教师要关注每个问题是否都具有这个特性。当然，在梳理时要融入自己的教学经验，只有经验的参与，问题梳理才更有成效。

例如，教材直观展示的5个问题中，笔者认为第一个问题最重要。因为学生画的两条直线会有各种情况，“会有哪几种情况？”——意思是让学生将两条直线的位置情况分类。如果学生能将两条直线的位置情况准确分类，那就表明学生对两条直线的位置特征有了比较清楚的认识，那么后续的概念教学就变得比较顺利。可见，第一个问题“会有哪几种情况？”决定“平行与垂直”这两个核心概念的发生发展过程，最有价值，权重最大。

再如，笔者根据教材知识点设计的13个问题都是围绕“互相垂直”和“互相平行”这两个概念来展开的，不言而喻，“两条怎样的直线互相平行？”和“两条怎样的直线互相垂直？”这两个问题最关键，权重最大。而其余的11个问题都是为厘清这两个问题服务的，作用也不可小觑。解决了“什么是‘同一平面”可以让学生明白“平行与垂直”的前提；解决了“什么是‘互相”可以让学生明白两条平行线和两条垂线的相互依存关系；解决了“互相垂直和相交有什么区别”可以让学生厘清“相交”和“互相垂直”之间的包含关系。

当梳理完上述18个问题后，三个最关键、权重最大的问题自然就浮出了水面：

1.在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？

2.两条怎样的直线互相平行？

3.两条怎样的直线互相垂直？

当权重最大的问题确定后，“核心问题”的提炼就接近成功了。

四、 改造问题，形成核心

数学概念比较抽象，需要学生在充分感知各种直观情况的基础上才能形成。上述权重最大的三个问题中，第一个问题是基础，其目的是丰富学生的感性经验并让学生感受分类思想，因此只有完成第一个问题，第二个和第三个问题才能迎刃而解。鉴于此，第一个问题理应成为本课最关键的一个问题，即“核心问题”。但这个“核心问题”还比较粗糙，教师还应该根据自己的教学思路进行适度改造，从而让它变成适应自己班级教学的“核心问题”。

例如，教材编写者在“平行与垂直”概念建立的过程中渗透了分类这一数学思想，同时让学生在分类的过程中积累数学基本活动经验。笔者也认同教材这一思路，于是就把两条直线的各种位置情况进行分类这一环节适当放大。但考虑到现实生活中，学生在课始环节就在一张纸上随机画两条直线，出现标准平行线和标准垂线的概率较少，而且变式也不够丰富，因此笔者决定在选择学生作品的过程中，适度掺入几幅自己事先画好的标准的或变式的平行线和垂线，以充实学习素材，从而有利于后续教学的顺利展开。笔者认为在学生随机画完后教师至少应展示如下七种情况（如图2）：

至此，我们就可以把“在纸上任意画两条直线，会有哪几种情况？”这一问题改造成更加切合实际教学的“核心问题”——“想一想，上述这些情况可以分成几类？依据是什么？”这一“核心问题”中的“几类”可以是一次分类，也可以是两次分类，“依据”两字直指“平行与垂直”的本质特征。

总之，抓住一个核心，设计一个能激发学生探究的问题，对学生、对教师都是非常有意义的，因为一个真正的问题比一千个答案更重要。“核心问题”能将众多的知识点融会贯通，聚集学生思维，把繁杂的问题设计得简单化、精练化，可以留给学生更多学习的时间和空间。当教师把“核心问题”提炼好了，教学重点和教学思路也就清晰了。在这个“核心问题”的引领下，再将其余问题适当有序地推进，就可以让学生的思维有序提升，从而轻松理解数学知识的内涵和外延，这无疑就是提炼数学“核心问题”的出发点和归宿点。