线性代数课中案例式教学的应用

赵军产 赵艳

线性代数是高职理工类、经济类等专业的一门重要基础课，也是描述和分析实际问题的一个必要工具，具有较强的逻辑性和广泛的实用性。

根据笔者所在高校教务处的调查，线性代数成为学生最易挂科的课程之一，这一方面与学生学习积极性不高有关，另一方面也和教师授课模式以及选择的教材有关。现在我们选用的教材，基本以线性代数基础理论讲解为主，并且给出的理论证明较多，由于课时安排的限制，教师基本按照书上的理论进行授课，很少给学生们提供实际案例进行分析。然而线性代数作为一门基础学科，在数据结构处理、经济模型、密码学、图论等学科中都有着广泛的应用。因此，在教学过程中，有目的地引入案例进行教学，有助于提高学生的学习兴趣，加深他们对基础知识的理解。

运用以案例为基础的教学模式进行教学，教师针对某个知识点，事先根据学生的专业情况选择合适的案例，可以有效唤起学生们的学习兴趣。教师可在关键环节进行引导和启发，让学生们积极讨论，发表各自的观点，教师再对他们的想法进行点评分析，使学生们的学习始终处于“问题—思考—探索—解答”的积极状态，这不仅能加深学生对知识点的认识，更重要的是培养了他们从不同角度解决问题的能力。

笔者设计了两个具体的案例，通过案例来讲授线性代数中的相关知识点。线性方程组的求解是线性代数课的主要内容，现在大多数教科书直接给出列方程组的数学公式，接着对其对应的增广矩阵进行初等变换，进而讨论方程组解的情况。这种讲解方式会使学生们感到求解线性方程组比较抽象和枯燥，如果以城市中几个关键路口的交通网络流量来建立方程组，再进行求解分析，会大大提高学生们的兴趣。

案例一：交通网络流量分析问题

交通拥堵的问题是各大城市发展过程中面临的首要问题，对城市交通网络的优化设计是提高车辆通行能力的重要方法。分析和评价城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量是首要工作。城市某交通路口单行线如图1所示， 其中数字表示上下班高峰期监测到的每小时该路段按箭头方向行驶的车辆数。

教师要求学生根据实际车流量信息设计流量控制方案，必要时可以设置单行线，提高车辆通行能力，避免交通出现长时间拥堵。教师可请学生们根据车流量信息建立线性方程组，同时为确定车辆通行的准确信息，思考还需要对哪些道路的车流量进行监控？此外，当x4=400时，确定x1、x2、x3的值；若x4=150，思考图中单行线的设计是否合理？

【模型建立】 根据道路交通实际通行情况，让学生们注意下面两个假设条件。第一，每个箭头代表的都是单行道路；第二，进入每个路口的车辆和驶离的车辆相等。接着引导学生运用上面两个条件建立线性方程组，尤其是让他们注意到进入和驶离的车辆相等这一关键假设。再根据上图车流量统计情况，对①、②、③、④四个路口进出车辆数量建立如下线性方程组：

【模型求解】线性方程组的求解是线性代数重点研究的内容，引导学生们如何运用消元法解方程组，相应地通过初等变换化其对应的增广矩阵为行最简形式，结果如下：

为了确定唯一未知量，只需增添x4统计的值即可。

当x4=400时，确定x1=300，x2=200，x3=100。

若x4=150，则x1=50，x2=450，x3=150<0。这表明单行线“③？邛④”应该改为“③？邝④”才能有效缓解拥堵。

通过本案例的学习，对学生们来说，线性方程组不再是抽象的数学公式，而是可以用来解决实际问题的工具。这一过程有助于加深学生们对方程组的建立和求解这一过程的理解，更好地掌握这个知识点。

为了提高学生学习兴趣，教师还可以结合他们感兴趣的话题设计案例，比如女孩子普遍比较关心自己的体重，我们可以用减肥食谱的配置这个案例来讲解线性方程组解的判断和求解。

案例二：减肥食谱的配置

随着人们生活水平的提高，越来越多的人开始注意日常饮食情况，下面的表格列出了三种食物中每100克蛋白质、碳水化合物和脂肪的含量，表中最后一列是剑桥大学医学院工作人员给出的每日所需的基本营养处方。提出问题：如果一个人每天使用这三种食物作为主要食物，那么他应该吃多少就能达到营养要求。

【模型建立】 设香蕉的用量为x1个单位（100g），口蘑的用量为x2个单位（100g），瘦牛肉的用量为x3个单位（100g），表中的三个营养成分列向量为：

即香蕉食用157g，口蘑食用56g，瘦牛肉食用55g，就能保证一个人每日所需的综合营养量。

最后让学生们展开讨论，从网上搜索常见食物营养成分表，寻找三种常见食物，给自己制定一份健康的套餐。通过这个案例的学习，学生们对线性组合的概念有了更深的理解，同时也掌握了线性方程组有唯一解的判定，以及如何借助MATLAB软件求解线性方程组。

在线性代数的案例式教学中，教师要根据相应知识点，有目的地设计一些案例，使学生们通过案例不仅学会知识点，同时也了解到其应用背景，扩大视野，提高学生们的学习兴趣，这对于提高线性代数的教学质量是非常有益的。

（责编 陈 颖）