基于西蒙教学法与“5W2H”分析法改进公式教学探微

姜云囡 古土城

[摘 要] “西蒙数学教学法”是建立在“人类自适应学习”理论基础上，将人工智能和现代认知心理学研究成果运用于数学教学的现代教学法. “5W2H”分析法是由美国政治学家拉斯维尔提出的“5W”模式发展而成的一种系统化分析方法. 应用“西蒙教学法”与“5W2H”分析法组织教学，借助认知心理学原理和多维度的分析方法，将教师的“教”与学生的“学”有机统一，有助于改进公式教学.

[关键词] 西蒙数学教学法；自适应学习；例中学；做中学；“5W2H”分析法；公式教学

“西蒙数学教学法”是建立在“人类自适应学习（Adaptive Learning）”理论基础上，将人工智能和现代认知心理学研究成果运用于数学教学的现代教学法，其核心理念是将陈述性知识转化为程序性知识呈现出来，通过“例中学、做中学”使学生深入学习数学. “5W2H”分析法是由美国政治学家拉斯维尔提出的“5W”模式发展而成的一种系统化分析方法，它涉及为什么研究（Why ）、研究主体是谁（Who ）、研究什么（What）、何时研究（When ）、何地研究（Where）、怎样研究（How ）和研究的多少（How much）等七个问题.

问题分析

完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2是八年级上册第十四章“整式乘法与因式分解”第2节的内容，是初中代数的一个重要组成部分，是学生已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展. 此公式联结着整式乘法与因式分解，具有双向推理的数学含义，是基本而重要的代数初步知识，是初中数学中关联知识点较多、应用率较高的一个公式，在各类型的数学考查中应用较为频繁和广泛，在后续数学学习中具有重要意义——对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算等都有举足轻重的作用.

完全平方公式的教学重点在于，体会完全平方公式的发现和推导过程，理解公式的结构特征，并会运用公式进行相应的计算. 学生的易错点在于直接迁移分配律，即计算（a+b）2时得到a2+b2. 学生在该部分知识的理解和应用上反映出的问题具有持久性和反复性，甚至有学生直至初中毕业都不能正确使用此公式.

解决思路

八年级学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学能力有限，理解完全平方公式的几何解释、推导过程、结构特点有一定的困难. 结合八年级学生的年龄和心理特征，可采用“问题解决”的形式贯穿课堂，尽可能多地让学生动手操作、运算、讨论，突出完全平方公式的探索过程，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力、合作交流能力和数学化能力.

（一）教法

以“启发探究式”为主线开展教学活动. 教学中通过创设问题情境，不断提出富有启发性、挑战性的问题，激发学生的探究欲望. 在教学过程中注意照顾差异，进行分层教学：如分层提问、分层练习、分层激励评价，使教学适合不同层次学生的最近发展区，使各个层次的学生都学有所获，得到充分发展.

（二）学法

借助“西蒙数学教学法”设计导学案，让学生的学习有章可循. “西蒙数学教学法”是由诺贝尔奖获得者、国际著名科学家、认知心理学之父赫伯·西蒙与中科院心理学家朱新明教授合作提出，后由中科院心理所205课题组的主要成员谢明初教授整合、推广. 这是建立在“人类自适应学习”理论基础上，将人工智能和现代认知心理学研究成果运用于数学教学的现代教学法，其核心理念是将陈述性知识转化为程序性知识呈现出来，通过“例中学、做中学”帮助学生深入学习数学. 利用导学案引导学生积极思考探索，从“被动学习”变为“主动学习”，经历“观察、类比、发现、归纳”的过程，多种感官参与教学活动，在合作中解决问题，在探索中发展思维能力，真正成为学习的主体.

解决思路如图1：

实施与改进过程

根据以上分析及思路，对“完全平方公式”的教学改进如下.

（一）实施过程——改进方案1

1. 创设情境，激发动机

在知识引入阶段，抛出问题：数学王子有一种速算法，如果一个两位数的个位数是5，那他就能1秒口算出这个两位数的平方，比如352=1225，652=4225，你知道他有什么技巧吗？

设问1？摇 如果一个两位数的个位数是5，十位数是a，则这个两位数表示为________，它的平方是________，怎样求出这个平方的结果？

设问2？摇 （从简单算起）试计算（x+y）2，它等于x2+y2吗？（a+b）2等于a2+b2吗？

设问3 将字母换成数字，计算两数和的平方，如计算（1+2）2，它等于12+22吗？

2. 引发质疑，暗度陈仓

让学生重新思考问题“（a+b）2=？”，引导学生分别从代数和几何的角度去计算结果.

3. 探究归纳，建构新知

代数法：（a+b）2=（a+b）（a+b）=______=______.

几何法：如图2，一个边长为a的正方形，如果将它的边增加b，得到的正方形面积可以怎么表示？

（引导学生分别用不同的形式表示大正方形的总面积，并进行比较）

（1）整体看：边长为______的大正方形，S=______.

（2）部分看：四块图形面积的和，S=______. （将图形面积进行分割再求和）

提问：由上面的问题可得到怎样的结论？（运用不同的方法进行计算，结果一样）

接着请学生尝试用文字语言叙述公式，通过文字语言和数学符号语言的转换，进一步理解公式的结构特征.

4. 尝试应用，迁移知识

例题 计算（7+m）2，并思考：谁相当于公式中的a？谁相当于公式中的b？如何按照公式书写结果？

（a+b）2=a2+2 a b+b2

（7+m）2=72+2×7×m+m2=______

（做完此题后）观察公式和例题并思考：这个公式的结构特征是怎样的？a和b可以表示什么？

迁移练习？摇 计算：（1）（x+5）2；（2）（4m+3n）2.

提示 （搭建脚手架辅助思考）在式子（x+5）2中，______可以看作是公式中的a，______可以看作是公式中的b，利用完全平方公式，即有（x+5）2=（ ）2+ 2·（ ）·（ ）+（？摇？摇 ）2=______.

小结？摇 运用完全平方公式进行计算，得到的多项式由三项构成，即两个平方项，一个二倍项. 平方项的符号都为______.

类比推导？摇 推导差的完全平方公式：（a-b）2=a2-2ab+b2.

小结 结果仍是两个平方项和一个二倍项. 平方项的符号都为______，二倍项的符号由括号里的两项决定. （两项同号为正，异号则为负）

变式练习？摇 计算：（1）（x-5）2；（2）（4m-3n）2.

总结？摇 公式中的a，b可以是数、单个字母、积形式的单项式，甚至可以是多项式，教师需强调不要遗漏二倍项，及其符号的确定问题.

5. 练习巩固，拓展能力

A.分层练习.

夯实基础：（1）（3s+4）2；（2）（5m-3）2.

拓展延伸：（3）（4s+7t）2；（4）（-4s-7t）2；（5）（5m-2b）2；（6）（-5m+2b）2.

综合提升：（7）（a+b-c）2.

B. 学生自行出题，同学之间互考.

C. 互助学习. 对接收新知识较慢的学生，借助帮扶形式，一对一或者一对几进行帮助.

D. 数学王子的速算法揭秘：（10a+5）2=（10a）2+2·10a·5+52=100a2+100a+25=100a（a+1）+25. 通过完全平方公式解释速算的技巧.

6. 归纳小结，内化新知

A. 采用学生回顾、发言，教师引导、补充的形式进行归纳.

完全平方公式： ①文字表述；②几何意义；③公式特征；④解题关键；⑤注意事项；⑥灵活运用.

数学语言表示：（a+b）2=a2+b2+2ab.

符号语言表示： （□+○）2=□2+○2+2□○，其中□和○可以是任意代数式.

B. 分层布置作业，各有所获.

第一层：（1）（x+3y）2；（2）（4m-5）2；（3）（-1+2x）2；（4）（-7a-8）2.？摇

第二层：（5）（7p+2q）2；（6）（-3m-5n）2.

第三层：（7）（m+n+5）2；（8）1092.

（二）改进方案1的“5W2H”分析

1. What——学习的主题是什么？

完全平方公式的理解与应用是基础目标，学习的侧重点在于避免遗漏二倍项. 初学时，学生难以理解二倍项的由来，展开教学时应在二倍项的来龙去脉上多花笔墨，引导学生发现公式的产生过程并及时应用.

2. Who—— 谁来完成？

在教师的指导下，学生依据设计的导学案，循序渐进地铺开学习. 教师提出启发性的问题，带动学生质疑假公式（a+b）2=a2+b2，然后演练、发现公式，归纳公式结构特征，应用公式. 学生作为主体，自始至终有师生合作，不否定教师的主导作用.

3. When—— 何时引入教学？

此处的时间应指“完全平方公式”教学的合适时机. 导入处利用数学王子的速算法创设了一个有趣的问题情境，为学习新知识设下悬念，激发学生一探究竟.（When 1）

学习分配律m（a+b）=ma+mb和积的乘方公式（ab）n=anbn后，多数学生计算（a+b）2时会得到a2+b2. 学生依葫芦画瓢，猜想得此结果是正常的，这种知识的负迁移，是因为思维的干扰而出现了错误. 若猜想（a+b）2等于a2+b2，接着让学生将字母换成数字，如计算（1+2）2，则用刚才发现的“公式”会得到12+22=5，但正确结果应该为32=9，到此，学生出现困惑，便会思考、验证（a+b）2=a2+b2是否正确. 这一环节，以学生已有的知识和经验为基础，提出本节课要解决的问题，引发学生深入探究的欲望. （When 2）

4. Where——何处入手？

先从代数角度入手，引导学生根据平方的意义将式子还原成（a+b）（a+b）的形式，再用多项式乘法去计算结果，从而得到（a+b）2=a2+2ab+b2.

为了加强知识发生、发展过程的教学，再结合几何图形验证完全平方公式，此部分教学利用多媒体进行演示，增强了直观性.

两种推导方法，有代数与几何的结合，又渗透数形结合的数学思想方法，使学生了解了和的完全平方公式的几何意义，再一次经历两数和的完全平方公式的探索过程，初步了解了公式的结构特征. 实施后发现，几何法的推导，对全体学生而言，要求过高，属于二层目标，可将其当作课后了解的内容，减轻中下层学生的负担.

5. How——怎样处理教学内容？

根据西蒙数学教学法的理论，编排导学案，精心设置趣味性和教育意义的问题情境，吊起学生的胃口；再以连续设问促使学生思考，造成认知冲突，为后面公式的探究提供了内驱力. 引导学生对公式进行推导来培养他们的合情推理能力. 在后面的知识迁移中，遵循“从易到难”“从简单到复杂”的原则设计题组，让学生通过“例中学”“做中学”，熟知完全平方公式的本质，并能用之计算.

在公式的推导过程及计算（7+m）2的例题和迁移练习（x+5）2中，均有计算步骤的分解，提供可模仿的、有迹可循的学习材料，便于学生自我学习.

推导出两数和、两数差的完全平方公式后，以及课堂的最后环节均安排了小结，归纳公式的结构特征.

运用公式计算，先要记忆它的结构. 在下阶段的改进方案中，可辅以口诀帮助学生记忆公式，以便熟练运用.

6. Why——对于How，为什么这样安排？

建构主义学习观认为：知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验，主动地加以建构. 学习要经历一定的过程，才能达到认识和理解. 教师不应当只扮演“奉送真理”的教育者，应当成为明智的指路人、辅导员，帮助学生主动学习、学会思考.

学习金字塔理论也说明：学习方法不同，学习效果大不一样. 因此，教师要学会调整甚至改变教学方式和角色，充分尊重学生在学习活动中的主体地位，引导学生自觉地参与合作学习. 学生要努力转变学习方法，要由被动听转到主动学，要多种器官综合使用，要耳、眼、脑、口、手并用.

因此，教师要提供有思考价值的材料，让学生有的放矢地学习. 课堂教学要对教材进行二次开发，对教学内容的结构进行整合，以适应不同学生的需求. 借助导学案，教师可以通过巡视、辅导、面批，得到及时反馈，诊断和了解学生的学习情况，进而对学生进行针对性的指导. 基于西蒙数学教学法设计的导学案，更贴合学生实际. 它立足于认知心理学的角度，考虑学生认知发展水平和接受能力，根据认知规律设置问题，通过任务驱动进入学习过程，在尊重数学科学体系的前提下，精心设计认知起点，采用小步教学、搭建脚手架等方式来展开数学知识，使学生易于接受、乐于挑战.

在后面的互助学习中，通过特殊照顾，使接受知识较慢的部分同学跟上学习节奏. 利用小组合作、互助学习可提高学习有效性，也符合“我”校启发潜能教育的理念，充分发挥优秀学生的潜力，体现学生的价值.

练习和作业的分层，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需求. 第一层夯实基础，照顾多数学生的能力水平；第二层、第三层则是拓展延伸，对学有余力的学生进行发散思维的训练，促使他们对所学知识与技能进行拓展和迁移，渗透应用意识.

7. How much——学到什么程度？需花费多少时间与精力？

分层次设定学习要求对大部分学生而言，需要了解完全平方公式的几何背景，会运用公式进行简单计算（一层目标）；中等以上学生要求会推导完全平方公式，理解公式的本质，灵活计算（二层目标）；对优秀生，则定位为要熟知公式的推导与应用，充分掌握完全平方公式的本质，并能运用公式计算某些数的平方、复杂多项式的平方，体会公式从一般到特殊的过程和从特殊到一般的应用价值（三层目标）. 方案1对优等生的分层练习或作业中，仅有正向应用公式的训练且习题量不够，可增加逆向应用公式的题目，给其逆向思维训练的机会，确保不同层次的学生都获得不同程度的发展.

根据艾宾浩斯遗忘曲线的规律，要避免对公式的遗忘，尤其是对二倍项的遗忘，需要在学习新知后的两周内反复练习，形成记忆，两周后应不定时地进行检测、重温，以巩固教学成果.

（三）实施过程——改进方案2

1. 几何法验证公式放在课后完成，供学有余力的学生多角度理解公式的含义.

2. 小结公式特点时，加上口诀辅助记忆. 因为有的学生属于听觉型，而有的学生则数学思维较欠缺，但文字、语言思维有优势，所以编写或借鉴他人的口诀帮助学生记忆，是多一种渠道让其学习、巩固. 完全平方公式可用口诀“首平方，尾平方，首尾二倍一边放”.

3. 分层练习或作业，增加三层题目.

A. （正向应用训练）计算：（1）972；（2）9982.

B. （逆向应用训练）（1）若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是______；

（2）已知a+b=10，ab=7，求a2+b2的值.

4. 加课后跟踪

A. 通过对学习结果进行评价，将学生分成已过关和未过关两组. 将未过关学生分成4～5组，将各种层次的学生均衡分配，每组指定一位知识点过关同学做组长，对组员的学习情况进行跟踪和反馈，同时进行组内辅导，通过“以兵带兵”的形式以点带面，保证大面积提高学习质量. （具体方法如图3）

B. 将公式学习分成三个阶段：公式区分辨识阶段、公式基础训练阶段、公式变形变式训练阶段. 在第二轮学习中，教师遴选习题，难度适中，题量以五分钟为宜，满分10分，利用课前、早读、午读等时间进行小测，教师批改后向小组长反馈，组长为做错题目的同学进行一对一辅导.

C. 每个小组以多次小测成绩区分过关与否，未过关同学重新组成一组，再进行第三轮的学习与评价，直至全体通过为止. 其中公式区分辨识阶段和公式基础训练阶段力求全班通过，公式变形变式训练阶段视学生的学习情况确定通过率.

反思与收获

数学学习强调的是让学生通过观察、实验、分析、综合、归纳、类比等一系列活动，去感知、发现、理解知识的产生过程. 很多知识点在正面传授时因为有教师的详细分析、方法指点及不厌其烦的强调，课堂学习中学生跟着教师的思路走，不难接受知识内容，但过后往往出现诸多低级错误，或对概念的混淆，或对公式法则的应用错误，这是因为学生对知识的产生过程不甚理解，未能将其融会贯通. 这时，设置的问题能引发学生思考就显得异常重要了. 教师应力求让学生产生对知识的渴求，再引导他们应用、对比，使其在质疑、求异的过程中发现真知.

基于教法、学法的考虑，在“西蒙数学教学法”的理论指导下，“完全平方公式”借助导学案为载体展开教学，这是有教师指导的建构主义，而非无方向的费时费力的盲从摸索. 从学生认知水平出发而设置的问题、梯度合理的习题，让学生在“例中学”与“做中学”里拾级而上. 在改进后的教学中，通过探究发现与学案导学，在之后的信息反馈中，学生对完全平方公式的掌握程度达90%以上，这归功于他们经历了对公式进行“否定之否定”的自主探索过程.

“教学有法，教无定法. ”最好的教学方法是让学生理解和深度参与，改变学生“被教、被管、被考”的被动角色，树立学生自立、自强的“主人”意识，令学生的学习不再是一种被动地吸收知识的过程，而是通过研究、探索、思考、概括、交流等方式，亲身经历学习的全过程，从而获得知识.

教会学生“疑问”“做中学”“学中做”，三者结合，才是“做学问”.