均匀圆阵互耦系数PSO求解方法

王石泉 张伟丰 刘杨

摘 要：论文提出一种均匀圆阵中基于粒子群算法的互耦系数求解方法，解决高分辨率测向算法由于受阵列互耦误差 的影响而性能下降甚至失效的问题。该方法通过设置一个方位精确已知的校正源，基于均匀圆阵互耦矩阵的对称Toeplitz性和子空间原理建立目标函数，利用粒子群算法运算简单寻优能力强的优势，估计得到各阵元之间的互耦系数，获取互耦误差矩阵。计算机仿真实验结果表明，利用该方法所得到的互耦矩阵对MUSIC算法进行补偿后，算法性能良好，接近不考虑互耦误差时的性能，显示了该方法的实用性和有效性。

关键词：粒子群算法；互耦系数；均匀圆阵；MUSIC算法；

1 引言

该理想模型中需假设天线各阵元之间不存在互耦误差，而在实际情况中，由于各阵元之间通过空间电磁场的相互作用与影响而发生电磁耦合现象，特别是当阵元间距较小时，耦合作用表现会很强烈，因此互耦是阵列天线的固有特性。研究和仿真实验表明，互耦误差会导致高分辨率测向算法性能下降甚至失效。

为解决互耦误差的影响，国内外学者对互耦误差的校正进行了大量研究，得出了许多校正算法，主要可分为两类：一是先对互耦进行电磁测量或者通过矩量法对互耦进行电磁计算。另一类是将互耦校正问题转化为参数估计问题，主要分为有源校正方法和自校正方法，与自校正算法相比，有源校正算法计算量小，无需对信号源方位进行估计，可以避免高维、多模非线性优化，因此实际工程应用较多。

2 均匀圆阵互耦误差模型及对测向算法的影响

2.1均匀圆阵互耦误差模型

均匀圆阵（Uniform Circle Array， UCA）具有全方位测向能力、测向精度随方位角的变化不明显和具有互耦对称等优势，因此是无线电测向中应用最广的阵列天线。如图1所示为M元均匀圆阵示意图。

考虑N个远场，互不相关的的窄带信号入射到空间该均匀圆阵上，其中入射信号的波长为λ，不失一般性，仅考虑水平面来波方向，设入射波来向为θk，k=1，2…N。在不考虑阵元间互耦误差的情况下，可知阵列接收信号可表示为：

上式中X（t）为阵列各阵元接收数据，A（θ）为M×N维阵列流型矢量且A（θ）=[a（θ1）， a（θ2），…，a（θM）]，S（t）=[s1（t），s2（t），…，sN（t）]T为N×1维入射信号，N（t）= [n1（t），n2（t），…，nN（t）]T为N×1维噪声矢量。

当考虑存在阵元互耦效应时，阵列的导向矢量可以修正为：

相应的，阵列流型矩阵可以表示为：

则阵列接收数据可以表示为：

其中矩阵Z为反映阵元互耦效应的互耦矩阵。

2.2 互耦误差对测向算法的影响

以子空间算法（MUSIC算法）为例，在考虑互耦误差的情况下，利用阵列信号处理技术将阵列输出的协方差矩阵定义为：

其中RS为信号协方差矩阵，I为单位矩阵，σ2为相互独立的零均值平稳高斯白噪声的平均功率，且其与信号源之间互不相关。考虑到实际接收数据矩阵是有限长的，设实际接收的快拍数为L，则数据协方差矩阵的最大似然估计可以表示为：

对上式进行特征分解，得到由对应于N个大特征值对应的特征向量所构成的信号子空间Es和其余M-N个特征向量所构成的噪声子空间EN，根据子空间基本原理即噪声子空间与理想导向矢量的正交性，可将MUSIC谱搜索函数。

3 基于粒子群算法的解决方案

由2.2节分析可知要实现互耦误差的校正，其实质是需要得到互耦矩阵Z。本节基于均匀圆阵的对称Toeplitz性和子空间原理建立目标函数，利用粒子群算法解决互耦向量的求解问题。

3.1均匀圆阵互耦矩阵化简

通常情况下，数组元素和数组元素之间的相互耦合是成反比的，基于互惠定理，互耦矩阵是一个对称矩阵。均匀圆阵，一三波段循环矩阵。以5元均匀圆阵为例，假设只存在阵元互耦误差，则互耦矩阵可以表示为：

这是一个复对称循环矩阵，可以完全由其第一行前3个元素z=[c0 c1 c2]来确定。（有计算公式，当阵元个数M为偶数时，L=M/2；当M为基数时，L=（M+1）/2，当M=5时，L=3）

关于复对称循环矩阵有如下定理：

其中α为任一5×1维复列向量，c为3×1维复列向量。T（α）是由向量α确定的5×3阶矩阵，它是以下四个矩阵的和，即有：

式中Ti（α），（i=1，2，3，4）由下式确定：

通过（10）式可以将互耦矩阵Z表示为向量z（本文称之为互耦向量）的形式。利用互耦向量，基于子空间原理，可以将空间谱搜索函数重新构造如下：

3.2 基于PSO的互耦向量求解

如图1中虚线框所示，一个范围在远场精确已知的（假设楼梯0）。根据（6）首先接收阵列协方差的信号，得到的协方差矩阵R=E[x互耦误差（T）x（t）]和M的特征值的特征分解：λ1λ等于或大于2。

μm为空间特征向量，由于只有一个校正源，我们知道最大的特征值λ1对应的特征向量u1是信号子空间，其余m-1的特征向量组成的矩阵的噪声子空间，如下式所示：

由于来波方位θ已知，则求解互耦向量的问题就转化为对适应度函数（12）式的最优化问题，即：

粒子群优化算法是基于群体智能进化的计算技术，是一种基于迭代优化工具与遗传算法相比，它与无需编码、选择、变异等复杂操作，操作简单、搜索能力强的一组随机解，是一个并行迭代搜索过程，通过迭代寻找最优值。

其速度和位置迭代更新公式如下：

式中w是惯性权因子，C1和C2是学习的因素，0和1之间的均匀分布的随机数R1和R2，D是尺寸为优化问题，PI，J粒子本身找到最优解，PG，H是找到最佳的解决方案的全部人口。通过不断地更新粒子的位置和速度，得到问题的最优解。

3.3算法步骤

至此可以给出本文算法步骤如下：

步骤1：设计学校正源信号，假设一个已知的窄带远场则入射信号入射角图1显示均匀圆阵，设置相应的信号噪声比。

步骤2：根据（3）接收到的信号处理，得到的协方差矩阵，并将其分解为得到噪声子空间的特征。

步骤3：设计粒子群优化算法的各种参数。该算法利用基本粒子群算法，学习因子C1=C2=1，惯性权重系数w=0.729，粒子的初始种群数量的模拟设置为30，迭代次数设置为300，使用（14）为适应度函数。

步骤4：使用粒子群优化算法寻找最优，直到目标函数收敛或达到指定数目的迭代次数，搜索停止时，粒子的最终输出找到最佳位置得到的估计值的互耦向量。

步骤5：构造互耦矩阵，并对MUSIC谱搜索函数进行互耦补偿，完成阵元互耦误差的校正。

4 结束语

本文提出一种均匀圆阵中基于粒子群算法的互耦系数求解方法。该方法利用一个方位已知的校正源，基于均匀圆阵互耦矩阵的对称Toeplitz性和子空间原理建立目标函数，然后利用粒子群算法对目标函数进行寻优，估计得到阵元互耦向量，进而构造互耦误差矩阵实现对MUSIC算法的互耦补偿。计算机仿真结果表明，经过该算法校正过的MUSIC算法的性能良好，可以准确估计出来波方位，从而显示了该方法的实用性和有效性。

参考文献

[1] Schmidt R. Multiple Emitter Location and Signal Parameter Estimation[J]. IEEE Trans AP on，1986，34 （3）： 267-280.

[2] Fabrizio Sellone， Alberto Serra：A Novel Online Mutual Coupling Compensation Algorithm for Uniform and Linear Arrays[J]. IEEE Transactions on Singal Processing， 2007：560-572.