活用变式教学巧建数学模型

蒋南庆

一、缘起

初中生在学习数学时，思维的发散能力往往欠缺，对于知识的迁移能力也弱，更谈不上举一反三了.因此教学中常常发现学生重复犯错，老师强调的内容还是不会做或者做错.其实，出现这些情况，缘于在平时的教学中，师生没有及时地总结数学模型.将数学知识转化成数学模型是完成知识迁移的关键环节.

《课程标准》对数学建模提出了明确的要求：强调“从学生已有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度和价值观方面得到进步和发展”. 根据这一要求，教师要有目标、有层次、有变化地设计教学，适时引导学生将问题模型化，求解，证实，再解决，进而提高数学意识和数学应用能力.并潜移默化地促进学生的学习兴趣、创新精神.

二、教学片断

秉承“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的教学模式开展教学活动，并在引导学生学会数学建模，在应用新知识解决实际问题的过程中，培养学生的语言表达、综合思维和分析、解决问题的多种能力，取得了较好的成效.

片断1：变一题，通一片

1.如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，CF∥AB，交AD延长线于F点，则△是等腰三角形.

变式一如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC，BF∥AD，交CA延长线于F点，则△是等腰三角形.

两个小题解决后，教师不失时机地追问：请同学们想一想，刚才我们做的两道题有没有什么共同特点？学生甲：好像都有角平分线和平行线.教师：观察很仔细.学生乙：都能找到等腰三角形.教师点拨：那么这里出现一个什么巧妙的图形组合呢？

片断2：变一变，渗透通性通法

2.如图3，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△PnAn-1An都是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，Pn在函数y=4x （x>0）的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，An-1An都在x轴上，则点A1的坐标是，点A2的坐标是，点A2006的坐标是.

此题的模型构建，需要遵循“特殊”——“一般”的化归思想.求A1，A2就是特殊点，利用形表示出P2点的坐标（4+m，m），再将该点代人解析式可得关于m的方程.余下的点用同样方法求得，最后找规律求得P2006的坐标.解决这个问题用到了很多的数学思想方法：数形结合，方程，化归等.教师重点是帮助他们构建数形结合的数学模型，即“利用形表示点坐标”——“利用数求得点坐标”.并能够深切体会它的妙用.教师紧跟两个变式.

变式一若正△P1OA1与正△P2A1A2，顶点P1，P2在图象上，求A2点的坐标.

变式二若正方形ABCO和正方形DEFA的顶点B，E在图象上.求E点的坐标.

两个变式把几何背景变成了等边三角形和正方形.变式旨在让学生掌握数形结合的本质方法.会把初步概括的模型，深入应用.经过一段时间的思考，学生自然体会到“数形结合”模型的妙处，果然可以活学活用.不难发现，这样的方法在这里仍然适用，而且恰到好处.经过两个变式的巩固，学生进一步掌握了“利用形表示点坐标”——“利用数求得点坐标”的模型.

三、结语

初中生的发散思维欠缺，举一反三的能力较弱，对知识的迁移能力和应变能力也不强；思维虽活跃，但深度和广度都不够，而运用变式手法恰好是训练和培养学生思维的最佳手段，能够顺利有效的强化数学模型.数学建模应提倡学生主动参与，让学生亲身经历建模的过程，自主完善模型.这样做能使学生兴趣浓、印象深，对于自己的劳动成果充满自豪感.以后涉及相关的习题时，学生往往自觉地应用所学的数学模型、规律.学生思维活跃，教学效果事半功倍.

数学模型有着“以不变应万变”的功效，让学生体会学习数学的乐趣.“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.学生的思维是“清渠”，而数学模型是源头的“活水”.希望我们能用活水滋润清渠常流不息.