实例教学对高等数学教学质量的影响

苟敏磷

【摘 要】本文针对高等数学中的多元函数、常微分方程和弹性理论教学这三个方面的实例教学进行论述，指出实例教学对于提高教学质量的效果，希望对高等数学教育工作者有所助益。

【关键词】实例教学 高等数学 教学质量 影响

高等数学是理工科专业学生的一门基础课，且该课程具有较强的应用性，教学内容又枯燥、空洞、抽象，故而在教学中必须讲究方法。实例教学可以将抽象的数学知识转化为具体生动的形象，增强学生的感性认识，帮助学生理解数学知识，提高教学质量。

一、多元函数中的实例教学

高等数学课程讲解多元函数最大值、最小值内容时，可将应用问题都转化成数学模型，在教学中渗透数学建模思想，并运用生活中的实例让学生认识到函数的最大值问题、最小值问题在日常生活中的应用。

例如：在讲解拉格朗日乘数法求多元函数极值时可运用蜂巢结构实例。见图1，蜂巢结构的特点是：每个巢正面都是六边形，六面柱的底则是由3个全等的菱形组成，最后交汇于底部的中心点G。在该蜂巢结构中，蜂房底的3个菱形钝角=109°28′，锐角则为70°32′。法国学者雷奥姆猜想蜜蜂选择这两个角是有一定的原因的，可能是在固定容积基础上使表面积最小，也就是说用最少的蜂蜡做出容积最大的蜂巢。这一猜想被柯尼格进行理论证明，发现理论计算的结果与实测值仅相差2′。

该案例在高等数学课程中的应用可以分成如下几个步骤：假设正六边形的边长为2a，G到平面B1D1F1的距离为x，GC1=2y。1.与高中数学知识联系，在同等容积下，一个六面柱由怎样的三个完全相同的菱形做底才能使表面积最小。2.将上一步骤的问题转化为函数问题，当，求解的极大值，这就与高等数学的条件极值知识点联系起来。3.综合上述条件，运用拉格朗日乘数法，可求解出极值的锐角和钝角分别为70°32′、109°28′。与数学中的拉格朗日乘数法知识点对应起来。简单来说，该实例就是通过提炼模型、分析模型、求解模型来将实际问题转化为模型并进行求解，学生对多元函数极值求解知识点的认识也更加深刻。

二、常微分方程中的实例教学

常微分方程是高等数学中的教学难点，传统课堂多是直接向学生介绍各种类型的一阶、二阶常系数线性微分方程的求解方法，但是这种教学很容易使学生产生一种错觉：该部分的教学就是计算，实用性差。实际上，我们日常生活中有很多问题需要用常微分方程来解决。

例如：设计一个我们生活中常见的实例，某产品在某地区进行推广营销中，该产品的销售速率较高，若该地区的潜在消费有限，且购买人数已接近于潜在消费人数，那么销售速率就会放缓，厂家则需要更新商品。现假设消费人数总量为N，在任一时刻销售的商品总量为x（t），那么如何建立起x（t）的常微分方程呢？并对该常微分方程性态进行分析，针对结果对该厂家的产品市场营销和生产策略提出建议。

该实例涉及高等数学中的导数概念，教师在讲授导数概念后，通过小组合作、案例教学、课下独立思考等方式使学生深刻吸收导数的相关知识，从而在实例中在师生合作或小组合作的情况下正确建立实例中的数学模型。在实例中，涉及微分方程、微分方程的阶数、微分方程的求解等，通过实例让学生对相关概念有深入理解，认识到常微分方程在现实生活中的实际应用。采用小组合作教学法，将全班学生分成4-6人的小组，在教师的引导下和小组合作下，学生用微分、积分的方式进行方程的求解。最后，派代表发言，各个小组之间交流经验，教师做出客观性评价，课后给学生布置类似实例，让学生以小组方式完成。

三、弹性理论中的实例教学

弹性理论是高等数学课程的一个重要内容，其在社会生活中应用广泛，如：利用弹性理论进行产品的需求、供给和效益的分析，为决策者提供相关理论依据。

现假设y=f（x）在x点可导，那么该函数的相对改变量、自变量的相对改变量的商的极限则为函数在x点的弹性，需求函数一般为减函数，所以边际函数（x）<0，那么需求价格的弹性值就要取负值。但是实际上经济学中的需求价格弹性值一般取正值，在理解中则需要理解为：需求量的变化与价格变化是呈现反方向趋势的。经济学中对需求价格的弹性值有如下规定，若>1，则说明该产品的价格富有弹性；若<1，则说明缺乏弹性；若=1，则说明该产品具有单位弹性。在课堂教学活动中，笔者设计如下问题让学生进行分组讨论：市场上某产品因市场需求的变动而降低价格，是否会降低经济效益呢？教师引导各个小组学生从上述三个方面对该产品进行研究，通过对弹性值>1、=1和<1的讨论研究，指出该产品在这三种情况下应该做出如何的提价或降价决策方能达到最大效益，让学生深入思考社会生产生活中的经济规律，认识到经济运行的不确定性和随机性，并学会如何用定性的方法来解决一些带有不确定性的问题。

四、结束语

综上所述，在高等数学教学中，教师要结合学生的素质正确选用实例，不可难度过大，也不可过于简单，以免影响学生的自主探究兴趣和欲望。通过分析与学生实际生活联系的案例、经典案例等，促使学生跟随教师的步伐一步步学习，营造活泼、开放的教学氛围，提高教学质量。

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