微分方程中常数变易法的应用

杨 秀 香

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南 714099)



微分方程中常数变易法的应用

杨 秀 香

(渭南师范学院 数理学院，陕西 渭南 714099)

摘要：利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论,研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法,得到各类方程的通解与特解。

关键词:常数变易法;微分方程;求解;应用

常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。本文利用常数变易法分析求解常微分方程中常见几类方程的过程，总结出常数变易法在求解微分方程中的应用。

下面先将利用常数变易法解一阶非齐次线性微分方程的过程作一回顾，见文献[1-3]。

(1)

其中：P(x)、Q(x)在研究区间上是x的连续函数。若Q(x)≡0,方程(1) 变为：

(2)

称为一阶齐次线性微分方程；若Q(x)≠0,方程(1)称为一阶非齐次线性微分方程。

方程(2)为变量分离方程,则得到它的通解为

y=ce∫P(x)dx，

(3)

这里c是任意常数。

现在讨论非齐次线性微分方程(1)通解的求法。

显而易见方程(2)是方程(1)的特殊形式,可以设想:在(3)中,将常数c变易为x的待定函数c(x)。令

y=c(x)e∫P(x)dx，

(4)

两边微分得

(5)

将(4)(5)代入(1),得到

若所给方程不能化为(1)的形式,可以将x看作是y的函数,再看是否能化为(1)的形式。

1常数变易法的应用

1.1利用常数变易法解伯努利方程

伯努利方程(Bernouli equation)是非线性微分方程，通常可以转化为线性方程,然后根据线性方程的求解方法再去求解。这里用常数变易法来直接求解[4-5]。

伯努利方程为:

(6)

y=ce∫P(x)dx。

(7)

将(7)中的常数c变易为x的待定函数c(x),令

y=c(x)e∫P(x)dx，

(8)

即[c(x)]-ndc(x)=Q(x)e(n-1)∫P(x)dxdx，

1.2利用常数变易法解二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程:

y″+py′+q=f(x)。

(9)

它对应的齐次方程为

y″+py′+q=0。

(10)

其特征方程为

r2+pr+q=0。

(11)

由于方程(9)的通解等于方程(11)的通解与其自身的一个特解之和,而二阶常系数齐次线性微分方程的通解容易求得。因此,此处只需求出方程(9)的一个特解即可。但其中的实根与复根情况,要分别考虑:

(A)若r为方程(11)的实根,则y=cerx是方程(10)的解,由常数变易法可设方程(9)的一个特解为y*=c(x)erx,代入方程(9)并化简得c″(x)+(2r+p)c′(x)=e-rxf(x)。

这是关于c(x)的一阶线性微分方程,有特解c(x)=∫[e-(2r+p)x(∫e(r+p)xf(x)dx)]dx。

从而得到方程(9)的一个特解为y*=erx∫[e-(2r+p)x(∫e(r+p)xf(x)dx)]dx。

(B)若r为方程(11)的复根,不妨设:r=a+bi(a,b∈R,b≠0)，那么y=eaxsinbx是方程(10)的解,由常数变易法可设方程(9)有特解y*=c(x)eaxsinbx,与(A)的推导类似,可得方程(9)的一个特解

因为y*是特解,所以积分常量可以选成0。

1.3利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程是通过特征方程法求线性无关的特解,然后根据微分方程解的性质得到通解。但是在二阶变系数齐次线性微分方程当中,因为系数本身是变化的,利用特征方程来求通解的方法失效,为此我们利用常数变易法来做:

y″+p(x)y′+q(x)y=0 。

(12)

这是一个可降阶的微分方程。

上式叫作变系数微分方程(12)的特解关系,因为y2为特解,所以积分常量均可选定为0。

1.4利用常数变易法解二阶变系数非齐次线性微分方程

二阶变系数非齐次线性微分方程[4-7]：

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)。

(13)

若y1为其对应的齐次方程的特解,则可利用第1.3节的方法求出方程另一个线性无关的特解,下面利用常数变易法求出非齐次方程的特解。为此,令y*=c(x)y1,将

y*′=c′(x)y1+c(x)y1′，y*″=c″(x)y1+2c′(x)y1′+c(x)y1″

代入方程(13)得

c″(x)y1+(p(x)y1+2y1′)c′(x)+(y1″+p(x)y1′+q(x)y1)c(x)=f(x)。

因为有y1″+p(x)y1′+q(x)y1=0，所以c″(x)y1+(p(x)y1+2y1′)c′(x)=f(x)，

构成c′(x)的一阶线性微分方程,由通解公式得

1.5利用常数变易法解n阶非齐次线性微分方程

形如

(14)

的方程叫作n阶线性微分方程,其中：pi(x)(i=1,2,…，n),f(x)是x的已知连续函数。当f(x)≠0时,(14)式叫作n阶非齐次线性微分方程;当f(x)=0时,(14)式叫作n阶齐次线性微分方程。

n阶非齐次线性微分方程的通解为其相应的齐次线性微分方程的通解与其本身的一个特解之和[1]。因此,在求n阶非齐次线性微分方程的通解时,只需要求出其相应的齐次线性微分方程的通解与其本身的一个特解即可。

设(14)式相应的齐次线性微分方程的通解为:

Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+…+cnyn(x)。

(15)

其中：yi(x)(i=1,2,…，n)是齐次方程n个线性无关的的特解,ci(i=1,2，…,n)是n个独立的任意常数。

引用常数变易法的思想,将ci变易为ci(x),令

(16)

为方程(14)的一个特解,即(16)式满足(14)式,为了解n个待定函数ci(x),把(16)式代入(14),由此得到ci(x)满足的一个条件(即含有ci(x)及其导数的一个方程),可是待定函数有n个,为了确定它们,必须再找出n-1个限制条件。

1.6利用常数变易法解非齐次线性微分方程组

先讨论

x′=A(t)x+f(t)

(17)

解的结构,A(t)是区间a≤t≤b上的n×n连续矩阵,f(t)是区间a≤t≤b上的n维连续列向量,当f(x)≡0时,

x′=A(t)x

(18)

为(17)对应的齐次线性微分方程组。

性质1[1]如果φ(t)是(17)的解向量,ψ(t)是(18)的解向量,则φ(t)+ψ(t)是(17)的解向量。

引理1[1-2]方程组(18)一定存在一个基解矩阵Φ(t),如果ψ(t)是(18)的任一解,那么ψ(t)=Φ(t)c, 这里c是确定的n维常数列向量。

引理2[1-2]设Φ(t)是(18)的基解矩阵,φ*(t)是(17)的某一个解,则(17)的任一解φ(t)都可表示为：

φ(t)=Φ(t)c+φ*(t)。

(19)

引理2告诉我们,为了求(17)的通解,只要知道(17)的一个解和它对应的齐次线性微分方程(18)的基解矩阵即可。为了求(17)的一个解,在已经知道基解矩阵Φ(t)的情况下,有一个简单的求解方法：常数变易法。

我们知道,如果c是常数列向量,则φ(t)=Φ(t)c是(18)的解,不可能是(17)的解。因此，我们将c变易为t的向量函数c(t),则有

φ*(t)=Φ(t)c(t) 。

(20)

假设(17)存在形如(20)的解,则将(20)代入(17)得到

Φ′(t)c(t)+Φ(t)c′(t)=A(t)Φ(t)c(t)+f(t)。

因为Φ(t)为(18)的基解矩阵,所以Φ′(t)=A(t)Φ(t),由此上式中含有A(t)Φ(t)c(t)的项就消失了,因而c(t)满足关系式

Φ(t)c′(t)=f(t)。

(21)

2结语

综上所述,常数变易法是一种特殊且实用性非常强的方法,利用常数变易法不仅能解一阶非齐次线性微分方程,并且对一阶非线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、高阶非齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程组的求解有着重要的作用,常数变易思想也是解微分方程的重要数学思想。尽管我们看到以上的方法公式烦琐不便记忆,而且积分中运算量也比较大,但是我们仍然能看到它的优点:(1)充实了常数变易法的应用；(2)可以解决变系数的二阶微分方程问题,这是教材中未曾涉及的；(3)在解决非齐次方程问题时,没有必要像教材一样把自由项做详细的分类,其适用范围变得更加广泛了,从而给我们一些新的启示,扩展了我们解决问题的思路。

参考文献:

[1] 王高雄,周之铭,宋思铭,等.常微分方程[M].第三版.北京:高等教育出版社,2006.44-45.

[2] 王兴涛.常微分方程[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2003. 54-58.

[3] 王春草.常数变易法在求解微分方程中的应用[J].杨凌职业技术学院学报,2007,6(4):43-44.

[4] 刘久方,刘学生.常微分方程中常数变易法的推广[J].大连大学学报,2009,30(6):10-12.

[5] 冯艳青.用常数变易法求解一阶非线性微分方程[J].青海师范大学学报(自然科学版),1997，(2):28-20.

[6] 陈文胜.常数变易法在二阶常微分方程中的应用[J].中山大学学报论丛,2001,21(3):47-48.

[7] 冯录祥.一类二阶齐线性微分方程的通解[J].渭南师范学院学报(自然科学版),2000，15(2):10-12.

【责任编辑牛怀岗】

The Application with Variation of Constants in the Ordinary Differential Equation

YANG Xiu-xiang

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University，Weinan 714099, China)

Abstract:Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differential equation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.

Key words:variation of constants; differential equation; solution; application

作者简介：杨秀香(1966—)，女，陕西富平人，渭南师范学院数理学院教授，主要从事生态数学及微分方程研究。

基金项目：陕西省扶持学科数学学科基金资助项目：微分方程的稳定性理论及其在生物数学中的应用(14SXZD008)；渭南师范学院重点科研计划项目：利用生态动力学模型研究秦东地区黄河湿地的资源保护与最优化分析(13YKF003)；渭南师范学院教育科学研究项目：西方教师教育大学与中小学合作体质特点(2014JYKX021)

收稿日期：2016-01-22

中图分类号：O175.1

文献标志码：A

文章编号：1009-5128(2016)08-0009-05

【自然科学基础理论研究】