浅谈函数教学中的分类讨论思想

◇ 山东 刘喜艳

(作者单位：山东省滨州市邹平黄山中学)



浅谈函数教学中的分类讨论思想

◇ 山东 刘喜艳

函数是高中数学的核心,函数板块中隐藏了很多数学思想,如分类讨论思想以及数形结合思想等．思想方法的渗透增加了函数问题的复杂性,单一的函数教学除了基础的函数与函数性质之外,难度并不大,但是随着知识的整合与参数的渗透,解决问题时必须依赖相关的思想方法．

1 明确分类讨论思想, 促进学生主动建构

分类思想是一种较为重要的逻辑方式,同时也是一种较为常用的数学思想．当学生无法对问题给出的对象进行统一研究与推理时,就可采用分组的形式对每个类别进行研究,再综合各项结论得到整个问题的结果．

(2)已知集合A={x|kx2-3x+2=0},假如A中至少有1个元素,求k的范围．

(3)设集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},假如B⊆A,求实数a的值．

此题的目的是为了引出分类思想的概念,促使学生逐步形成并完善分类意识．第(1)题考查了集合元素的互异性,思路较为清晰,分类意图较为直接．由此引出分类讨论思想概念,引导学生了解“化整为零,逐一解决,最终积零为整”的策略.在这种情况下,学生能够了解到分类法是什么,再遇到类似的问题就能够快速锁定目标,使用分类法来解决问题．第(2)、(3)题就是在第(1)题的基础上运用分类讨论思想的一般题型,由此巩固分类讨论思想．

2 找寻分类切入点,增强思维的缜密性

在教学中,教师可引导学生寻找分类切入点,增强思维的缜密性．

图1 图2 图3 图4

解决此题主要是利用图形的变化产生分类,与原解相比较,此种分类更加简便,可从直线、双曲线与双曲线的焦点位置入手,便可顺利地解决问题．

3 关注易错点,使分类讨论思想得到升华

经过长期的练习,学生对于分类讨论思想产生了一定的了解,学生的解题能力得到了提升．此时教师应当关注易错点,使分类思想得到升华．

(3) 求和:1+2x+3x2+…+nxn.

在此题中,第(1)题中关于二次项次数的取值情况很容易出现遗漏的情况.第(2)题中直线斜率不存在的情况可能被忽略.第(3)题中等比数列求和公式要分2种情况进行讨论．通过这3道题可使学生充分了解定义、性质与定理等的分类情况,明确把握定理与性质的应用条件,认识到数学的严谨性．在教学中,教师应当采取措施,提高学生的解题能力,例如在对字母与取值范围进行分类讨论时,学生可能会出现遗漏,此时教师就可引导学生在得出结论前,借助集合交、并运算对结果进行检验．

(作者单位：山东省滨州市邹平黄山中学)