将兴趣培养渗透在概念教学的不同阶段*——以“锐角三角函数”为例

☉江苏省如皋市下原初中　张　娜



将兴趣培养渗透在概念教学的不同阶段*——以“锐角三角函数”为例

☉江苏省如皋市下原初中张娜

在学生学习和应用数学知识的过程中，兴趣是最好的老师.一旦学生的数学学习兴趣被激起，其数学学习将会被注入强劲的动力.因此，在数学教学中，我们应重视对学生学习数学兴趣的培养.要将兴趣培养作为数学教学的常态任务，融入到概念教学的不同阶段，使学生充分感受到“学习数学是快乐的”.本文将结合人教版九年级下册“28.1锐角三角函数”的部分教学片断，谈谈笔者的一些做法，不足之处敬请各位批评指正.

一、理清概念本质，培养探究兴趣

在数学教学中，概念教学是基础性教学，它是学生获取数学的基础知识、形成基本技能的根本途径.当然，在获得上述“双基”的同时，学生还能感悟到知识获得过程中蕴含的数学思想和被反复应用的活动经验.所以，培养学生学习数学的兴趣也应从数学基本概念的教学入手.李邦河院士曾说过“数学就是玩概念的”，我们应在学生获得概念的过程中，就让他们感受到“学习数学是一件轻松的事”，并以此为契机培养学生的探究兴趣.

案例1“正弦”概念教学.

教师让学生分别探究了30°、45°角所对的直角边与斜边的比值，初步感知了“直角三角形中，当锐角的度数确定时，其对边与斜边的比值是不会变化的”.接下来，教师将教材中的“探究”投影，让学生自主探究.

探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，那么有什么关系？你能解释一下吗？

在学生自主探究结束后，教师安排学生在小组中进行了交流.

在全班交流中，学生将他们的发现进行了分享.他们一致认为题中给出的两个直角三角形是相似的，所以（教师板书），对比例式进行变形可得BC AB=（教师板书）.接下来，教师请学生结合刚刚“特殊—一般”的经历小结探究结论.经过师生互动，得出结论：在Rt△ABC中，如果锐角A的度数一定，那么其对边与斜边的比值将是一个定值.

教师进一步追问：“当锐角A的度数一定时，直角三角形中还有哪些边的比值也是定值呢？”学生分别给出了“斜边与这个锐角的对边的比值、另一条直角边（即锐角的邻边）与斜边的比值、两条直角边的比值等都是定值”的结论.

至此，教师揭示“正弦”的定义，并将对应的图形和定义文本进行了板书.同时，让学生求出三个特殊锐角（30°，45°，60°）的正弦值，并将结果写在黑板上.

案例分析：概念获得是学生数学学习的起点.为了帮助学生理清概念的本质，案例中教师引导学生从特殊角度入手，初步感知“比值是定值”.随着“探究”的深入，学生的认知由“特殊”走向了“一般”.自主探究，学生很容易发现两个三角形是相似的.小组交流，让学生将自己获得的结论和探究结论的过程进行了分享，进一步感知“比值不变”的实质.全班交流，充分的自主探究与小组交流，让绝大多数学生认同了从相似入手展开说理的证明方法，教师将比例式及其变形结果展示在黑板上，让学生对“边的比值是定值”有了更加深刻的认知.教师的追问“还有哪些边的比值也是定值呢”，完全顺应了学生的认知发展规律，不仅强化了对“正弦”概念的本质的认知，还将探究的深度进一步拓展，为后面的“余弦”、“正切”及“余切”（说明：这一知识在下一学段学习）的学习埋下伏笔.在此过程中，学生的认知由肤浅走向深刻，教师为学生所做的每一次铺垫，都将成为培养学生探究兴趣的“基石”，他们比较会拾级而上，在新知探究之路上越走越远.

二、体验文图转化，培养应用兴趣

数学是基础学科，其应用性是不用质疑的.因此，我们的数学教学不能只着眼于概念教学，还应培养学生应用概念解决问题的能力.要知道，在学生应用能力提升的过程中，他们对数学概念的理解将会逐渐加深，并由此产生对其他相关概念的正向迁移，形成问题解决的“聚集效应”.在此过程中，反复的应用尝试，学生对问题解决成败的强烈体验，将会迅速激活学生的探究热情，应用数学知识分析问题和解决问题的兴趣也就此逐步养成.在“锐角三角函数”的学习中，学生获得概念是比较容易的，但如何将概念应用到含有复杂图形的数学问题中，不同的学生会有着不同的差异.所以，我们在学生获得概念之后，应引导学生将图形与文本联系起来，从培养学生的分析能力上入手，以文图转化培养学生应用概念解决问题的兴趣.

案例2“正弦”的简单应用.

在学生获得了正弦的概念之后，我们安排下面的例题，让学生将题目文本中的条件标注到图上，并自主解答，然后在组内交流解题的思路、用到的知识和结果.

例题：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.求sinB的值.

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13.求sinA的值.

图1

图2

根据解题要求，学生先解读文本信息，并将部分条件标注在图形对应位置上，例如，在图1和图2中用直角符号标注∠C，在两幅图的线段旁标注长度等.根据正弦的定义，绝大多数同学能给出正确的结果.于是，教师组织学生开展了小组内的交流，由于有了自主解答的经验，学生的交流十分热烈，也取得了很好的效果.最后，教师将同学们解答与交流中的优点进行了集中点评，进一步强调了“读题标注，文图呼应”做法的好处，希望大家在今后的解题中能按照这里的步骤进行.在接下来的自主练习时间里，教师一共呈现了5道题目让学生自主解答，其中3道填空题，2道解答题，由于篇幅限制，这里就不再赘述了.

案例分析：例题教学是数学课堂的核心环节.在学生数学认知活动中，例题教学不仅要帮助学生巩固“四基”，还要在发展“四能”，培养学生的学习兴趣上做贡献.所以，一线老师一般都非常重视例题及其教学过程的设计与实施.案例中，这两道例题出现在学生获得了“正弦”的概念之后，是对概念的简单应用与即时巩固.从给出的这两道例题不难看出教者是动了脑筋的，首先，这里给出的边长是两组“勾股数”，学生想要得出第三条边的长度只需经过简单的口算即可，不让学生在计算上纠结，在节约了探究时间的同时，让新知成为了教学核心，有利于激发学生的应用热情；给出的图形“不正”，与概念归纳时的图形差别较大，概念应用变为了颇具新意的“创造”，而非“临摹”；最后，解题要求十分明确，让学生“先在图中标注，再解答”，教者的例题教学定位显然不只是概念的简单应用，他还关注了学生审题习惯的培养，力求以例题的解答使学生形成一定的解题技能.在上面的自主探究与师生、生生的互动交流中，文本、图形、符号、数字都是交流的内容，信息载体的多样化丰富了学生的数学思维，他们要将信息不停地用语言、动作进行互化、转译，使之成为自己能说清、别人能听懂的“语言”或动作.如此训练，“文图互化”必将成为学生默会的一项技能，融入到学生解题能力之中，与此同步形成的还有应用数学概念解决问题的兴趣.

三、建构数学模型，培养创新兴趣

在初中阶段，数学模型一般是用字母、数字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、图形等来描述外在特征及其内部联系的模型，它是学生分析问题和解决问题的重要工具.在学生获得数学基本概念之后，数学模型就应走在教学的“前台”，成为重要的教学内容.模型的建构应是基于不同数学概念的应用之上形成的，这些概念间一定有着至少是内在或外在某一方面的联系.为了让这些有一定关联的概念在学生的认知活动中能“拉上关系”，我们可以设置适量的综合性“探究”活动，让学生通过对已有知识、技能的综合性提取及应用，分析活动中隐藏的知识“衔接点”，从而推动“概念链”的形成，这些附着于“链条”之上的图形、符号、文本等串成“新”的模型，铸就了数学“疑难杂症”的化解之道.

案例3“正弦”概念之“拓展提升”.

待本节课的4道例题教学结束后，教师安排了如下的“探究”：

探究：如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6.请用尽可能多的方法求CD的长.

图3

根据要求，学生先自主探究，然后在小组中交流各自的方法.10分钟后，小组交流结束.教师请学生以小组为单位展示解法，通过不同小组的矫正与完善，全班共给出包括了“面积法”、“勾股+方程”、“相似法”及“函数法”等近10种解法，其中以本课知识为主要工具的解法有如下两种.

解法一：根据勾股定理可得AB=10（下同）.在Rt△ABC和Rt△ACD中，sinA=

在学生给出这两种方法后，教师引导他们进行小结，形成结论：同一个锐角的正弦在不同的直角三角形中可以有不同的表示方法，这些表示方法能够形成比例式，如果让未知数加入就可以得到方程，从而求出图形中的线段的长度.在学生陈述过程中，教师将学生的语言进行了“提炼”，简化形成数学模型（解题模型），并板书，如图4.

图4

为了对这一数学模型进行巩固，教师还安排了几道配套的练习让学生自主解答.

案例分析：初中阶段数学模型的应用价值，更多的体现在学生问题解决中.它来自于学生问题解决的过程之中，又重新服务问题解决.因此，想要建构出有效的数学模型，就应该像案例中那样依托于问题解决，从问题解决的过程中进行抽象提取.当学生获得“正弦”的概念之后，教师敏锐地捕捉到这一概念与前面知识间的联系.于是，一题多解的探究就此展开，“用尽可能多的方法求CD的长”让学生的思维彻底打开，他们“不得不”从自己已有的知识网络中搜索出能够化解问题的知识，组合，链接.在经历了充分的自主探索和小组交流之后，教师期待的探究成果不断涌现，近10种解法的出现给接下来的全班交流提供了丰富的资源.教师重点选择了与本课高度相关的两种解法进行了点评，并从中抽象出今后适用的数学模型.在今后的问题解决中，学生只需沿着模型预设好的路径展开联想，同类问题的化解不在话下.很显然，教师预设的探究活动，指向了数学模型，但学生获得的不仅仅是数学模型，与此同步的还有创新兴趣的激活.在今后的数学学习过程中，一旦概念进入应用提升环节，学生的创新兴趣会被“触发”，由此引发的生成一定是丰富多彩的.

数学是抽象的.丰富的文本，复杂的图形，烦琐的数量关系，让很多抽象思维并不发达的学生失去了学习的兴趣.为了避免学生在数学学习中渐行渐远，我们一直努力将兴趣培养“安放”在概念教学进程之中.接触概念，培养其探究兴趣；问题解决，培养其应用兴趣；建构模型，培养其创新兴趣……如此种种，将兴趣培养融合到概念教学的不同阶段，不仅能使学生获得基本的数学知识和基本技能，还能很好地激发学生学习数学的激情，并形成进一步学习数学的信心.为此，我们将继续努力前行，课前，充分准备；课上，精心实施；课后，及时反思.在前行的路上，期盼着更多同行专家给予我们指点和帮助！