作图教学：述理与述法并重——以“过直线外一点作已知直线的垂线”为例

☉江苏省如皋市东陈初中　杭石琴



作图教学：述理与述法并重——以“过直线外一点作已知直线的垂线”为例

☉江苏省如皋市东陈初中杭石琴

尺规作图是学生的基本数学技能之一.对于尺规作图，我们不仅要让学生知道作图的基本步骤，还要让他们知晓实施这些步骤的理由.显然，尺规作图教学，我们不仅要让学生“知其然，还要知其所以然”.也就是说，我们应同时将作图的理由和作图的方法在尺规作图教学中加以明晰，让学生清楚尺规作图的知识基础、技能基础和思想方法基础，使今后的尺规作图能够明明白白、清清楚楚.笔者近期在执教“过直线外一点作已知直线的垂线”时，借助学生已有知识先明晰了作图的理由，再让学生结合具体情境探究作图的方法，取得了不错的成效.现将这次教学的历程与各位做个分享，希望能给您带来启示.

一、教学片断及分析

1.知识应用，提前述理

通过探索，学生刚刚获得了“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”.

师：如图1，如果PA=PB，那么点P在AB的垂直平分线上吗？

图1

生（齐）：在！

（教师在图1中补作点Q）

师：如果QA=QB.请问，点Q也在AB的垂直平分线上吗？

生（齐）：在！

师：PQ与AB有怎样的关系呢？

生1：PQ垂直平分AB.

师：为什么？

生2：根据刚刚得到的结论，点P在AB的垂直平分线上，Q也在AB的垂直平分线上，所以PQ垂直平分AB.

师：为什么？

生3：两点确定一条直线呀！

师：非常好！看来，只要能找到“到线段两个端点距离相等”的两个点，就可以作出这条线段的垂线了！

2.自主探索，述法究理

师：接下来将利用刚刚所获得的知识与经验，来探索一个新的基本尺规作图：过直线外一点作出已知直线的垂线.（教师板书）

投影：

已知：直线MN和MN外一点P（如图2）.

图2

求作：MN的垂线，使它经过点P.

学生活动：探究作图方法，并在小组内交流.

10分钟后小组交流结束，教师请一名学生展示作图过程，如图3.

图3

生4：我先以P为圆心、任意长为半径作圆，与MN交于两点A、B.再分别以A、B为圆心，任意长为半径画弧交于点Q.作直线PQ，PQ就是MN的垂线.

师：你能说说这么作图的理由吗？

生4：作第一条弧，是为了找到图3中的点A和点B，使得PA=PB.

师：那么，作第二、三两条弧呢？

生4：得出点Q，使得QA=QB.

师：得出的直线PQ是MN的垂线吗？

生5：是的！

师：为什么？

生5：根据刚才的探究，PA=PB，QA=QB，点P、Q都在AB的垂直平分线上，所以PQ⊥AB.

师：太棒了！看来你不仅知道怎么去作，还知道了为什么可以这么做！

3.步骤微调，完善作法

师：在你们的作图过程中，三个关键点A、B和Q都出现了吗？

（有学生在摇头，示意并没有全部出现）

师：怎么会没出现呢？

生6：作第一条弧时，半径必须比较长，太短了与直线MN就没有交点.

师：哦！原来是这样啊！有没有什么方法能保证半径的长度适宜呢？

生7：我们可以先在MN的下方取一点K，（快步走到黑板前，添上点K，如图3）以P为圆心、PK为半径作圆.

师：这是个不错的主意！还有什么值得注意的地方吗？

生8：以A、B为圆心作弧时，半径要比AB的一半长，否则也会没有交点.

师：是的！看来今天的作图还有很多地方是要注意的，大家一定要小心哦！（教师投影完整的作图步骤，并进行了示范作图）

师：通过刚刚的探索，我们不仅探究得出了“过直线外一点作已知直线的垂线”这一基本作图的作法，并且知道了这一作法的数学道理.今后的尺规作图学习，我们也将从方法和理由这两个角度展开学习，希望今天的学习能给后面的学习提供帮助.

二、片断分析

这是从学生刚刚获得的几何知识入手，将由定理生成的基本图形进行复合，形成图1，对图1展开深度探究，通过层层追问，使学生知道了点P和点Q都在直线MN的垂直平分线上，进而抽象出“只要能找到‘到线段两个端点距离相等’的两个点，就可以作出这条线段的垂线了”这一作垂线的方法，这实际上也是“过直线外一点作已知直线的垂线”的方法.至此，本节课要探究的尺规作图的基本理由已经陈述完毕.接下来，教师直接抛出了本节课探究的话题，让学生利用刚刚获得的知识自主探究，并将探究的结果在小组中进行交流.有了前面知识和经验的铺垫，学生不负众望，顺利给出了作图的方法.在接下来的全班交流中，就是紧扣学生给出的方法，通过反复提问，将作图的每一个步骤都与数学知识紧密关联在一起，让述法与述理同步进行，作图不再是“孤单”的程序化的步骤，而是与数学基础知识、基本活动经验紧密联系在一起的数学基本技能，理论与实践紧密地结合在了一起.针对学生探索中出现的一些问题，教师展开进一步矫正，给出了完整的作法，并通过投影和自身的演示将作图步骤和作图过程进行了“定格”，让每一位学生“知其然，且知其所以然”，实现了数学教学由知识向方法的完美过渡.

三、几点感悟

1.理法同行，谁都不是“教学鸡肋”

尺规作图是初中数学教学的主要内容.传统教学，对作法教学非常重视.至于作图的理由，教师在教学中一般都一带而过，不作为教学的重点呈现，使得作图述理沦为“教学鸡肋”.《义务教育数学课程标准（2011版）》（下称“课标（2011版）”）对尺规作图提出了明确要求，要求我们不仅要重视作法教学，还要重视作图理由的教学.“理法同行”是当下初中数学课堂尺规作图教学的基本要求，一线数学教师应努力落实.本文案例中，教师将这一理念很好地落实到了教学实践中.在作图方法探究之前，教师就已经提前将作图的理由进行了“预埋”，借助本节课获得知识的应用，将尺规作图成果中的基本作图（图1）展示在学生面前.接下来的探究是对知识应用的再度顺应，有了图1的铺垫，作图方法探究就变得非常顺利了.然而当学生给出作法后，教师并没有就此停住，而是将作图理由进一步明晰.应该说，整个教学过程中，理与法同行，谁都不是“教学鸡肋”，它们都是教学的主要内容，是师生交流互动探究的核心话题.

2.理法并述，强化数学“四基”教学

尺规作图，是初中数学最重要的基本技能之一，是学生获取数学结论、探究解题思路与验证数学猜想的重要工具.就问题解决而言，复杂的数学问题的化解，需要借助尺规作图来呈现所有的“可能”，这些“可能”与数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验紧密联系在一起.因此，想要学生作出符合要求的图形，就必须充分调动已经获得的“四基”.所以在尺规作图教学中，我们就不能只强调作图的方法，而应将作图步骤与数学“四基”关联在一起，使学生形成知识提取应用的有效网络.以本文中的案例为例，“过直线外一点作已知直线的垂线”这一尺规作图只用了“垂直”，但我们从这个作图教学的前奏和后延看，垂直平分线的性质与判定是绕不开的一个“坎”.在教学中，我们就应从垂直平分线入手，当他们获得这一基础知识后，给予适当练习，一方面巩固旧知，另一方面让学生的认知又向前迈出一步，逼近所要获得的作图方法.当学生获得作图方法后，教师还应将作法与已经获得的基础知识关联起来，让学生的技能形成与知识获得同步.

3.理法并重，相互促进共“谋”发展

过去的尺规作图教学沿袭了数学教学“重实践”的特点，重视作法教学，这是非常可贵的.在“课标（2011版）”颁布后，对尺规作图教学提出了“要重视作图理由”的要求.一线教师对此高度赞同，并努力将课标理念落在了实处，他们将述理与述法放在作图教学的同一个高度上，使两者成为作图教学的“左膀”与“右臂”.随着作图教学的不断深入，我们发现“理法并重，能有效推动学生的数学认知不断走高”.当学生的知识到达较高的位置后，便会从道理上给予作法更准确的支持，使学生能够更加清晰地掌握尺规作图的基本步骤；当尺规作图的技能渐趋熟练时，高位的技能展示将会给学生数学问题的深度探究注入不竭动力，随之而来的便是基于作图之上的新的知识生成、思想感悟和经验积淀.这样的相互依存，共同促进，让知识与技能混合在一起，组合出现，很好地服务于学生数学知识的获得和数学问题的解决.我们有理由相信，随着学生数学知识的不断积聚，有着理论支撑的作图技能将会嵌入到学生的知识网络之中，成为个人素养的重要组成部分.

参考文献：

1.王冰.重视过程教学发展思维能力——“12.1轴对称（第2课时）”的教学设计及其特点［J］.中国数学教育（初中版），2013（6）.

2.印冬建.明理：尺规作图教学的新要求——以“作一个角的平分线”为例［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2012（12）.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

*本文系江苏省教学科学“十二五”规划课题《初中数学“微话题探讨式学习”教学策略研究》（编号：E-c/2013/8）的研究成果.