充分利用教材认识数学归纳法

徐永红

摘 要：数学归纳法是一种特殊的推理论证的方法，准确把握其本质，是正确应用该法的先决条件.

关键词：归纳奠基；归纳推理；问题

数学归纳法的本质是递推，其形式是固定的两步：（1）归纳奠基；（2）归纳推理，用它证明一个与正整数n有关的命题时：

（1）n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；

（2）假设n=k（k≥n0k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

若两个步骤完成，则命题由n=n0成立，就有n=n0+1也成立；n=n0+1成立，就有n=n0+2也成立；n=n0+2成立，就有n=n0+3也成立；…… 连续递推，形象地可看成引发了一个连锁反应（类似于多米诺骨牌倒下的过程）. 但在应用数学归纳法时，特别是初学者对其本质把握不准的情况下，会出问题，以下就此谈几点看法.

奠基必须有

问题1：用数学归纳法证明

即当n=k+1时等式成立.

数学归纳法第（1）步的证明一般都比较简单，一些初学者觉得它可有可无，与第（2）步的证明无关.上述证明就无第（1）步而直接证明第（2）步，但显然当n=1时等式不成立（该命题为假命题）. 其实数学归纳法第（2）步中的“假设n=k时命题成立”要以第（1）步为依托，即证明了第（1）步中“n=n0时命题成立”，第（2）步的“假设n=k时命题成立”中的“k”至少有“n0”为保证（奠基），所以第（1）步必须证明，因此上述数学归纳法的应用错误.

[?] 奠基必须实

问题2：用数学归纳法证明：n2<2n（n∈N*）（现行人教版4-5P50例1改编）.

证明：（1）当n=1时，有12<21，不等式成立.

至此，从形式上看完成第（1）步的证明，但显然当n=2，3，4时不等式不成立（该命题是假命题）. 其实使“不等式 n2<2n成立的正整数n为1或5或大于5”，这里若用数学归纳法证明时，第（1）步中的“n0”应为“5”，才能为第（2）步中的“k”提供首个正确的保证值. 而上述问题2证明第（1）步，这一奠基则是虚而不实.

递推必须存在

问题3：已知数列，，，…，，…，Sn为其前n项的和，用数学归纳法证明Sn=（现行人教版2-2P94例2改编）.

证明：（1）当n=1时，左边=S1=，右边=，等式成立.

（2）假设n=k（k∈N*）时等式成立，即Sk=，

那么即当n=k+1时等式也成立.

数学归纳法的第（2）步中n=k+1的情形必须由“假设n=k时命题成立”所产生结论参与推出，这样才能够形成从n=k到n=k+1的递推关系. 该问题的证明虽然推出了n=k+1时等式成立，但它与n=k无关，因此这个数学归纳法的应用是无效的.

递推必须有力

问题4：用数学归纳法证明：如果n（n∈N*）个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an=1，那么它们的和a1+a2+…+an≥n（现行人教版4-5P52例4）.

证明：（1）当n=1时，有a1=1，命题成立.

（2）假设n=k（k∈N*）时命题成立，即k个正整数的乘积a1a2…ak=1，则

那么

当n=k+1时，由k+1个正数a1，a2，…，ak，ak+1满足条件a1a2…akak+1=1，可知它们中至少有一个数大于或等于1，不妨设ak+1≥1，则

所以当n=k+1时不等式也成立.

该证明的第（2）步看似“假设n=k时命题成立，证明了当n=k+1 时命题也成立”，其实这一推理的条件是不充分的，因为a1，a2，…，ak，ak+1中a1，a2，…，ak的乘积不一定等于1，所以这里递推的“力度”不够，这一失误导致数学归纳法的应用前功尽弃（正确解答见教材4-5）.

综上所述，数学归纳法的两个步骤相辅相成，其中第（1）步是递推的基础；第（2）步是递推的依据，只有准确把握，才能够正确和充分地应用数学归纳法，否则可能导致该法应用失败.