高三教学不可忽视的磨题环节

唐婷婷 黄艳

摘 要：一堂让学生大有收获的好课是磨出来的，作为一线教师需要有意识地对题目进行锤炼、琢磨，这个过程就是磨题. 高三教学中课堂例题的选编对学生能力的提升至关重要，教师需要通过磨题，以本为本，以纲为纲，把握例题选编的方向和出发点，充分发挥它们的示范作用.

关键词：高三；解析几何；磨题

在高三数学复习阶段，很多教师和学生都忙于解题，忽视了对源问题的再研究和再使用，更谈不上对一些通性通法再温习. 高三数学教学是对高一高二教学的巩固和延伸，是促进学生基本概念清晰化、知识结构系统化、能力运用灵活化、思维品质优越化的重要节点. 一堂让学生大有收获的好课是磨出来的，作为一线教师需要有意识地对题目进行锤炼、琢磨，这个过程就是磨题.

自江苏省实施08高考方案以来，解析几何题基本处在试卷第17题、第18题的位置，由于此类问题知识间融合要求的提高、运算量的增加，故学生往往会出现一看答案就懂，教师一教就会，自己一做就错的现象.究其原因，是上课在追求解题数量和解题技巧的同时，未能重视学生对题目本质的理解. 磨题的关键是能深刻领会题目的内涵，这样更有利于加深学生对知识横向和纵向的联系，激发学生探索问题的积极性，感受磨题与解题的双重快乐，使整个复习过程成为锤炼学生思维习惯，提高数学素养，培养良好的解题综合素质的过程.在高三复习解析几何这部分内容时，笔者围绕苏教版必修2中一道课本题进行磨题，从而确定上课习题，下面把打磨的过程呈现给大家，体现磨题过程中思考的点滴.

源问题：已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.

对源问题的题设条件进行打磨，引入切线

磨题1：已知A（3，0），圆O：x2+y2=1，动点M到圆O的切线长与MA的比等于常数，求动点M的轨迹方程.

磨题2：已知圆O：x2+y2=1，圆A：（x-3）2+y2=1，过动点M分别作圆O、圆A的切线MP，MQ，其中P，Q分别为切点，若=，试求动点M的轨迹方程.

磨题1、磨题2均属于考查与阿波罗尼斯圆有关的轨迹问题，分别将源问题中的定点膨胀成圆，通过构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题.

调整设问方式，增强问题的开放性

磨题3：已知两定点A（3，0），B（0，0），M是圆（x+1）2+y2=4上任意一点，问是否存在这样的常数λ，使得=λ？若存在，求出常数λ的值；若不存在，说明理由.

本题在设问上突破了固定的“已知—求解”的数学推理模式，由于设问方式上的改变使得在求解本题时至少得思考两个问题：是否存在；如何求解.

磨题4：已知点A（3，0），M是圆（x+1）2+y2=4上任意一点，问平面上是否存在一点B，使=？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由.

此类情况，点A，B在x轴的同侧，且点B伴随点A而生，因此改变点A的位置，点B随之唯一确定. 本题也可通过M的特殊点探求点B，再做一般性的证明，不断拓展学生的思维.

磨题5：已知定点A（3，0），点M是圆O：x2+y2=1上任意一点，问：是否存在不同于点A的定点Q，都有=λ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

磨题5、磨题6通过开放式的设问背景，能比较客观、全面地测量学生观察、试验、猜想、归纳、类比等思维能力，能够更好地激发学生的探索精神.

磨题7：我们知道，阿波罗尼斯圆定理中涉及的定点A，B在该圆的一条对称轴上，那么，对于一个确定的圆，在其对称轴上，是否存在确定的两点，使圆上任意一点到这两点的距离的比为常数λ（λ≠1）？

已知点M是圆（x+1）2+y2=4上任意一点，问在x轴上是否存在点A，B，使得=？若存在，求出两定点A，B的坐标；若不存在，说明理由.

磨题8：已知点M是圆（x+1）2+y2=4上任意一点，问在直线y=x+1上是否存在点A，B，使得=？若存在，求出两定点A，B的坐标，若不存在，说明理由.

基于以上研究，我们可以解决三类问题：一：知一求二，即给出一个定点，求定值和另一个定点，或者给出定值，求两个定点坐标；二：利用恒成立问题的处理策略求定值；三：对存在性问题做出判断.

将定点动起来，提高问题的探究性

磨题9：已知圆O：x2+y2=1，点A是直线l：y=3上横坐标为t的点，试问：是否存在一个异于点A的点B，对于圆O上任意一点M，有为定值？若存在，求出当点A在直线l上运动时，点B的轨迹方程；若不存在，说明理由.

磨题10：已知圆O：x2+y2=1，点A是直线l：y=x+3上横坐标为t的点，试问：是否存在一个异于点A的点B，对于圆O上任意一点M，有为定值？若存在，求出当点A在直线l上运动时，点B的轨迹方程；若不存在，说明理由.

为了进一步增加问题的探究性，将定点A动起来，从而不断提升学生求异创新的思维能力. 研究图形的运动变化规律及运动变化过程中的不变量是解析几何命题的重要视角之一.

转换背景，重视知识间的整合

磨题11：若磨题9、磨题10中未知定直线，可引入新元素“椭圆的准线”.

椭圆C：+=1，若A是椭圆准线l上纵坐标为t的点，试问：是否存在一个异于点A的点B，对于椭圆上任意一点M，有为定值？若存在，求出当点A在直线l上运动时，点B的轨迹方程；若不存在，说明理由.

磨题12：若磨题5中定点A未知，可通过其他方式来联系点A和点B，如引入新元素“椭圆中a2=b2+c2”或“双曲线中c2=a2+b2”.

椭圆C：+=1（a>），A为右顶点，C为右焦点，圆O：x2+y2=3，在圆O上任取一点M，是否有为定值？若存在定值，求出此椭圆方程；若不存在，说明理由.

磨题13：双曲线C：-=1（a>），A为右顶点，C为右焦点，圆O：x2+y2=3，在圆O上任取一点M，是否有为定值？若存在定值，求出此双曲线方程；若不存在，说明理由.

苏教版高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的，因此，注意沟通各部分内容之间的联系也成了数学磨题的一个创新视角. 笔者通过上述磨题，最终以磨题1、磨题5、磨题10、磨题12作为上课习题，旨在通过知识的迁移与交汇使学生体会知识之间的有机联系，感受解析几何的整体性，从而不断提高学生的数学核心素养.

高三教师仅停留在能“把题目做出来，并一题多解”这一层面上是远远不够的.“磨题”的关键是能深刻领会题目的内涵，在教师自己全面准确把握了题目的内涵和解法之后，更重要的是选择合适的习题及解法以适应不同的学生. 应该说“磨题”的最终目的是让高三的数学课堂既要注重基础，又要有所创新提高；既要注重通性通法，又要注意技巧锻炼；既要做到灵活多变，培养学生良好的学习习惯，又要自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算，只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时才可以说对知识达到了较高程度的掌握，从而真正提高高三教学的效率.