一个鲜为人知的误区

高用

摘 要：目前，三角函数问题中区间与集合等同使用非常普遍，不仅是日常教学、解题中还是诸多教辅中，甚至是高考参考答案都是如此，这是否规范？本文从教学中遇到的问题出发，对该问题进行深入探讨.

关键词：误区；三角函数；区间；集合

笔者在讲评《正弦函数、余弦函数的性质》一课的习题时，一道判断题引发了学生的激烈讨论.

题目 函数y=sinx在第一象限内是增函数.

学生中主要有如下三种观点：

观点1：错误. 根据正弦函数图象，函数y=sinx在第一象限内的图象有增有减，明显不是递增的.

观点2：错误. 举反例：和π都是第一象限角，且<π，但是sin=，sinπ=sin=，所以sin>sinπ，不满足单调递增的定义，故y=sinx在第一象限内不是增函数.

观点3：正确. 第一象限角组成的集合可以表示为{x

，k∈Z上是增函数，即函数y=sinx在第一象限内是增函数.

持观点1的学生显然是理解错了题意，理解成了函数y=sinx在第一象限中的图象是上升的，题目中第一象限是指自变量角x的取值范围.

观点2是正确的，通过举反例证明了函数y=sinx在第一象限内不满足函数单调递增的定义.

那么，观点3就是有问题的，但是问题出在哪里呢？观点3看起来也很正确啊.经过仔细思考和反复辨别，还是观点2给了笔者启发，我们来看看反例的这两个角：∈

0，

这是错误的，在教材上可以找到两点依据：

1. 普通高中数学教材人教A版关于正弦函数y=sinx单调区间的叙述为：单调增区间是

2. 普通高中数学教材人教A版必修四第31页提到：因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1）π），k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π）的图象的形状完全一致.

由此可以看出区间

然而，无论在解题中还是教学中，我们似乎已经默认了区间与集合是等同的，写区间和写集合都可以，并没有过分追究，现在细细想来，我们却因此犯下了不少鲜为人知的错误.

错误一 求定义域用区间

综上所述，上述几种情况，区间与集合是不能混用的，具体用集合还是用区间要区别对待，平时的教学中应该强调这一点，并加以规范. 或许，以上问题不痛不痒，无关乎数学本质，过分追究便是吹毛求疵，但是数学本身是严谨的，不允许出现任何错误. 况且这个问题本身就可以一言以蔽之，当然应该严格规范. 笔者希望本文能引起同行们的重视！