一种2R2T并联机构的运动学及性能分析

温如凤,方跃法,陈亚琼

(北京交通大学机械与电子控制工程学院,北京100044)



一种2R2T并联机构的运动学及性能分析

温如凤,方跃法,陈亚琼

(北京交通大学机械与电子控制工程学院,北京100044)

摘 要:研究了一种具有4条支链和2个运动平台的并联机构,其中2个运动平台通过1个转动副相连.利用位移群理论分析了机构的自由度,2个动平台都有2个转动和2个移动自由度.对机构进行了位置分析,得到了正解的封闭解.给出了机构的雅可比矩阵,分析了机构的奇异位形和刚度性能.所提出的机构在工业和医学领域具有良好的应用前景.

关键词:并联机构;运动学;自由度;雅可比矩阵;性能分析

在过去的20年,少于六自由度的并联机器人的构型综合引起了学者们的广泛关注.各种各样的方法,包括螺旋理论方法[1-4],位移群论方法[5-6],虚拟链方法[7-8],基于线性变换理论的方法[9-10]等被提出来并应用于少自由度并联机器人的构型综合.大多数的研究针对的是具有3R2T,3T2R,3T1R,3R,3T,2R1T和2T1R(R代表转动副,T代表移动副)运动的并联机构,对于具有2R2T运动的并联机构的设计和分析的相关文献较少.Chen等[11]提出了具有2个PRS和2个PSS支链的2R2T并联机构,基于约束综合方法,Li等[12]提出了具有2个对称支链的2R2T并联机构.Liu等[13]介绍了几种2R2T并联机构,这些机构的动平台的自由度由被动支链决定.Yoon等[14]提出了一种新型的具有2个平台和3个支链的2R2T并联机构,其中使用了一个T-T驱动单元.Fan等[15]提出了一种基于构型演变和李群理论的方法,并将它应用于2R2T并联机构的构型综合.Kumar等[16]提出了一种根据任务来设计2R2T并联机构的方法,所得的机构主要用于医疗领域.

事实上,2R2T并联机构在4轴并联机床,农业和采矿业中振动筛,脚踝康复及其他医疗领域具有潜在的应用前景.设计新型2R2T并联机构并进行相关分析具有重要的科学研究和工程应用意义.Ye 等[17]提出了一种简单的等效运动支链方法,进而应用于2R2T并联机构的构型综合,并在文献[18]中应用位移群论分析了一种具有4条支链和2个运动平台的2RPU-P-2RPU并联机构,其中2个运动平台通过1个移动副相连.为了促进2R2T并联机构的应用,本文作者对文献[17]中一种典型的2R2T并联机构2RPU-R-2RPU进行位置和奇异位形分析.

1 相关李群理论

本节将参照文献[19-22]对所用到的一些关于李群理论的数学知识作简要的介绍.

1.1 基本定义

李群(Lie Group)是一个光滑流形G具有一个特异点或元素e及2个连续函数:mult:G×G→Ginv:G→G.其中二元运算mult有时被称作群运算,G中任一元素关于映射inv的像是该元素的逆,mult和inv运算可简记为mult(g1,g2)=g1g2,inv(g)=g-1,mult满足结合律,inv是一一映射,同时2种运算满足群的规则,即:①eg-ge=g(单位元e);②(g1g2)g3=g1(g2g3(结合律);③gg-1=g-1g=e(逆元),其中g1,g2,g3,g∈G,e是单位元素.同时,对于李群来说,mult和inv都是微分映射.

1.2 位移子群及其运算

1978年法国学者Hervé在基于位移群的代数结构给运动链进行了分类,给出了12种位移子群,同时还给出了位移子群两两求交集,求乘法运算的结果.

位移子群是一类存在于刚体运动中的特殊粒子群,因此除了满足群的直积和半直积运算、交运算、商运算外,还有一些重要定理和推论:

定理1 位移子群的交集G1∩G2还是位移子群,且满足交换律G1∩G2=G2∩G1.

定理2 位移子群的乘积运算G1·G2可能构成位移子群,也可能不具有群的代数结构,只是一个位移子流形.如果两个位移子群的乘积运算满足交换律G1∩G2=G2∩G1,则G1·G2是位移子群.

定理3 如果两个位移子群G1和G2是位移群G的两个位移子群,根据群乘法运算的封闭性,乘积G1·G2仍然属于该群,即G1·G2⊆G.

推论 如果两个位移子群G1和G2是位移群G的两个位移子群,且dim(G1·G2)=dim G,则G1·G2为G的等效位移子群,即G1·G2⊆G.

2 机构描述和自由度分析

图1给出了2RPU-R-2RPU并联机构的三维模型,包含2个动平台和4条对称支链,每条支链有1 个R副,1个P副,1个U副,每条支链中3个关节的顺序是RPU,其中,移动副被选作驱动.在4个支链中,移动副轴线垂直于转动副轴线,转动副轴线和虎克铰的第1个转动轴线平行,所有虎克铰的第2个转动轴线也相互平行.第1条支链和第2条支链中的虎克铰的第2转动轴线是共线的,第3条支链和第4条支链中的虎克铰的第2转动轴线也共线.4个转动副的中心形成1个正方形,两个动平台M1和M2通过1个转动副连接,转动副的轴线平行于虎克铰的第2个转动轴线.很容易发现,动平台M1和M2有着同样的运动特性,都可以看作是输出平台.为方便起见,这里给出了平台M1的自由度分析.

位移群论在并联机构的构型综合和自由度分析中得到了广泛应用.为了进一步分析,建立了如图1所示的坐标系,以A2A1为x轴,y轴平行于转动副轴线,z轴根据右手法则定义,坐标点O定义在线A2A1的中点,Bi(i=1,2,3,4)用来表示支链i的4个虎克铰的中心.并联机构的每个分支产生的刚体运动构成位移子群,动平台的位移子群则是所有分支位移子群的交集.M1的运动集给出如下

式中:pi(i=1,2,3,4)表示支链i轴移动副方向的单位向量;u表示U副的第2个转动轴方向的单位向量,且过N点.

因为移动副的轴线垂直于转动副,三维位移子群{G(y)}表示一个平面内的两个移动和绕该平面法线的一个转动,对应的等效生成元包括:

将M1的每条支链用对应的等效生成元表示,得出

因此,将式(3)代入式(1)得

从式(4)看出平台M1可以在垂直于y轴的平面内做平面运动,并且可以绕u轴转动,即有4个自由度的2R2T运动,这证明了文献[17]中的构型综合的方法是正确的.

3 位置分析

由于多个被动关节的存在,并联机构的位置正解通常很复杂.本文作者提出的4自由度2RPU-R-2RPU并联机构的被动关节数量较少,这就决定了这种机构的位置分析将会比较简单.以下给出2R2T并联机构的位置正反解分析.

图2为并联机构的几何模型.由Ai(i=1,2,3,4)形成的正方形的边长为2a,B1B2=B3B4=2b.在动平台M1上建立一个坐标系L(O'-x'y'z'),其中以线B1B2的中心作为坐标原点O',x'轴与B2B1共线,y'轴与O'Q共线(Q是连接两动平台M1和M2的转动副的中心,O″是B3B4的中心),z轴根据右手法则定义.

点Ai在固定坐标系G(O-xyz)中的位置向量可给出

点Bi(i=1,2,3,4)在动坐标系L(O'-x'y'z')中的位置向量为

式中:上标L表示是相对于动坐标系L(O'-x'y' z');c表示点O'和点Q之间的距离,∠O'QO″=γ.从动坐标系L(O'-x'y'z')到固定坐标系G(O-xyz)的变换可以用位置矢量P=[x,0,z]T和旋转矩阵GRL表示,其中

式中:α和β分别代表沿y和x'轴的旋转角度.因此,点Bi在固定坐标系G(O-xyz)中位置矢量为

将式(6)和(7)代入式(8),得到

对于支链i的闭环方程可以写为

即Li=AiBi

将Ai和Bi的位置矢量代入式(10),可以得到4个约束方程

式中:li(i=1,2,3,4)表示支链i的长度;c(1-cosγ)cosβ+c sinβsinγ=2a.

通过式(11～14),机构的正反解可以解出,对于位置反解,给定动平台的位置和方向参数x,z,α,β 和γ,支链的长度很容易计算.对于位置正解,给出了li输出平台的位置和方向参数需要解出.

将式(11)减去式(12),式(12)减去式(13),式(13)减去式(14),得到

将式(15)加到式(17),得

将式(11)和式(12)相加,得到

可得仅含有未知变量x,z的cosα的表达式

将式(21)代入式(15),可推出

把式(21)和式(22)代入sin2α+cos2α=1,可得一个仅含有未知变量x和z的方程,一般形式为

将式(21)和式(22)代入式(19),可得另一个仅含有未知变量x和z的方程,一般形式为

其中,fi(i=0,1,…,6)和gj(j=0,1,…,7)的表达中仅含有未知变量z.

根据Sylvester Dialytic Elimination方法[23],在式(23)两边分别乘以xi(i=1～6),式(24)两边分别乘以xi(i=1～5),可以得到11个方程,定义X =[x12,x11,x10,x9,x8,x7,x6,x5,x4,x3,x2,x1]T为新的线性变量,可以写出13个方程的一般形式

其中:A是13×13方阵,若a,b,l1,l2,l3,l4已知,则ai(i=1,2,…,7)和bi(i=1,2,…,8)是只含有未知变量z的表达式.

令系数矩阵Det|A|=0,从而解出z,x,α,β.这样,动平台的位置和方向参数都确定下来,得到了正解的封闭解.若a=96 mm,b=80 mm,l1=l2=100 mm,l3=l4=220 mm,可得z=0.37 mm,x=0.18 mm,α=arccos 0.366.若a=96 mm,b=80 mm,l1=l2=150 mm,l3=l4=200 mm,可得z=0.45 mm,x=0.055 mm,α=π-arccos 0.45.

4 速度雅可比矩阵分析

速度雅可比矩阵(简称雅可比矩阵)是机构一阶运动学分析的核心.对并联机构,雅可比矩阵将驱动器的关节速度映射为动平台的角速度和线速度,多数机构分析与设计性能评价指标都源于雅克比矩

已知机器人的速度是有量纲的,线速度和角速度分别有不同的量纲.如果.X中存在线速度和角速度是机器人操作器的线速度向量,,是角速度向量.则输入速度到输出速度的映射关系为

式中,J为机构的雅可比矩阵.

其中:

当|J|≠0时,即机器人无奇异位形.

5 工作空间分析

工作空间是指机构运动时操作点能够到达的所有空间区域,是衡量并联机构性能的重要指标之一.一般情况下,驱动元件的行程越大,则并联机构的工作空间也会相应增大,但是从结构紧凑的角度考虑,并不希望驱动元件的行程太大,从而选择恰巧满足工作空间所需要的驱动元件的行程,对于并联机构的设计显得十分重要.

确定工作空间的方法一般有解析法和图解法.考虑到本结构正解方程比较复杂,可采用图解逆解法进行分析.影响并联机器人工作空间的因素有杆长的限制、运动副转角的限制和构件的干涉.

固定x=0 mm,在初步给定的搜索范围80 mm＜z＜240 mm,-60°＜α＜60°,-30°＜β＜52.5°内的工作空间如图4所示.在初步给定的搜索范围-60°＜α＜60°,200＜β＜52.5°,x=0 mm,z= 200 mm内的二维工作空间,如图5所示,在初步给定的搜索范围80 mm＜z＜240 mm,-60°＜α＜60°,-30°＜β＜52.5°,x=0 mm内的满足|J|=0的奇异点如图6所示.

6 刚度性能指标的分析

刚度是指材料在受外力时抵抗弹性变形的能力,尤其在重载作用下显得格外重要,是重载装备重要的性能指标.机器人的刚度不仅与雅可比矩阵、驱动和传动的刚度有关,而且与机器人的具体位形相关.评价刚度矩阵的方法有刚度矩阵的行列式、特征值、条件数等.而刚度矩阵则可以表示为K= k JTJ[26],k为常数,本文用特征值的方法,它可以比较方便地反映出刚度在相应特征向量所表示方向上的最值.为便于比较,所有移动的驱动关节的弹性刚度常数设为103N/m,所有转动的驱动关节的弹性刚度系数设为103Nm/rad.以K的最大特征值Kλmax和最小特征值Kλmin来衡量刚度的大小,这里给出z=200 mm时,Kλmin和Kλmax的对比分析分别如图7,图8所示.

从图7看出,取Kλmin时,刚度性能指标出现零,从图8看出,取Kλmax时,刚度性能指标得到的数值比较大.为了更好的分析刚度性能指标,用Kλmin来衡量,给定z=200 mm的条件下,分别给定不同的β值如图9所示,刚度性能指标越来越差.

7 结论

1)基于位移群理论的自由度分析表明了机构具有4个自由度,两个动平台都可以执行2R2T运动,这说明以前文章中的构型方法是正确的.

2)进行了机构的位置正反解分析,得到了正解的封闭解.

3)根据速度雅可比矩阵,分析了机构的奇异位形,并给出了不同的搜索范围内的工作空间,对比最大特征值和最小特征值,分析了刚度性能.所提出的机构在工业和医学领域具有良好的应用前景.

参考文献(References):

[1]HUANG Z,LI Q C.General methodology for type synthesis of lower mobility symmetrical parallel manipulators and several novel manipulators[J].Int J Robot Res 2002,21(2):131-146.

[2]FANG Y F,TSAI L W.Structure synthesis of 4-DoF and 5-DoF parallel manipulators with identical limb structures[J].Int J Robot Res,2002,21:799-810.

[3]KONG X W,GOSSELIN C M.Type synthesis of 3-DOF spherical parallel manipulators based on screw theory[J].ASME J Mech Des,2004,126:101-108.

[4]KONG X W,GOSSELIN C M.Type synthesis of 3-DOF translational parallel manipulators based on screw theory[J].ASME J Mech Des,2004,126:83-92.

[5]HERVéJ M.The lie group of rigid body displacements,a fundamental tool for mechanism design[J].Mechanism and Machine Theory,1999,34(5):719-730.

[6]LI Q,HUANG Z,HERVE J M.Type synthesis of 3R2T 5-DOF parallel mechanisms using the lie group of displacements[J].IEEE Transactions on Robotics and Automation,2004,20(2):173-180.

[7]GOGU G.Structural synthesis of fully-isotropic translational parallel robots via theory of linear transformations[J].European Journal of Mechanics-A/Solids,2004,23(6):1021-1039.

[8]GOGU G.Structural synthesis of fully-isotropic parallel robots with Schönflies motions via theory of linear transformations and evolutionary morphology[J].European Journal of Mechanics-A/Solids,2007,26(2):242-269.

[9]KONG X W,GOSSELIN C M.Type synthesis of 4-DOFSP-equivalent parallel manipulators:a virtual chain approach[J].Mech Mach Theory,2006,41:1306-1319.

[10]KONG X W,GOSSELIN C M.Type synthesis of 3-DOFPPR parallel manipulators based on screw theory and the concept of virtual chain[J].ASME J Mech Des,2005,127:1113-1121.

[11]CHEN W,ZHAO M,ZHOU J,et al.A 2T-2R,4-DoF parallel manipulator[C].ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,2002:881-885.

[12]LI Q,HUANG Z.Type synthesis of 4-DOF parallel manipulators in robots and automation[J].IEEE International Conference on ICRA,2003,1:755-760.

[13]LIU X J,WANG J.Some new parallel mechanisms containing the planar four-bar parallelogram[J].The International Journal of Robotics Research,2003,22(9):717-732.

[14]YOON J,RYU J.A new family of hybrid 4-DOF parallel mechanisms with two platforms and its application to a footpad device[J].Journal of Robotic Systems,2005,22(5):287-298.

[15]FAN C,LIN H,ZHANG Y.Type synthesis of 2T2R,1T2R and 2R parallel mechanisms[J].Mechanism and Machine Theory,2012,61:184-190.

[16]KUMAR N,PICCIN O,BAYLE B.A task-based type synthesis of novel 2T2R parallel mechanisms[J].Mechanism and Machine Theory,2014,77:59-72.

[17]YE W,FANG Y,GUO S,et al.Type synthesis of 2R2T parallel mechanisms based on motion equivalent chain method[C].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,Part C:Journal of Mechanical Engineering Science,2014.

[18]YE W,FANG Y,GUO S,et al.Kinematics and singularity analysis of a 2R2T parallel mechanisms[C].Proceedings of the ASME International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,2015:46394.

[19]SELIG J M,杨向东.机器人学的几何基础[M].2版.北京:清华大学出版社,2008.SELIG J M,YANG Xiangdong.Geometry based on robotics[M].2nd ed.Beijing:Tsinghua University Press,2008.(in Chinese)

[20]戴建生.机构学与机器人学的几何基础与旋量代数[M].北京:高等教育出版社,2014.DAI Jiansheng.Geometry foundation and rotation algebra of mechanism and robotics[M].Beijing:Higher Education Press,2014.(in Chinese)

[21]于靖军,刘新军,丁希仑,等.机器人机构学的数学基础[M].北京:机械工业出版社,2008.YU Jingjun,LIU Xinjun,DING Xilun,et al.Mathematical foundation of robot mechanism[M].Beijing:China Machine Press,2008.(in Chinese)

[22]黄真,赵永生,赵铁石.高等空间机构学[M].北京:高等教育出版社,2006.HUANG Zhen,ZHAO Yongsheng,ZHAO Tieshi.Higher spatial mechanism[M].Beijing:Higher Education Press,2006.(in Chinese)

[23]BERNARD R.Computations in kinematics:Computational Kinematic[M].Dondrecht:Kluwer Academic Publishers,1993,3-14.

[24]KONG X W,GOSSELIN C M.A class of 3-DOF translational parallel manipulators with linear inputoutput equations[C].Proceeding of Workshop on Fundamental Issues and Future Research Directions for Parallel Mechanisms and Manipulators,2002:25-32.

[25]ARSENAULT M,BOUDREAU R.The synthesis of three-degree-of-freedom planar parallel mechanisms with revolute joints(3-RRR)for an optimal singularity free workspace[J].Journal of Robotic Systems,2004,21(5):259-274.

[26]丛爽,尚伟伟.并联机器人[M].北京:电子工业出版社,2010:67-68.CONG Shuang,SHANG Weiwei.Parallel robot[M].Beijing:Publishing House of Electronics Industry,2010:67-68.(in Chinese)

Kinematics and performance analysis of a 2R2T parallel mechanism

WEN Rufeng,FANG Yuefa,CHEN Yaqiong
(School of Mechanical,Electronic and Control Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China)

Abstract:In this paper,we study a parallel mechanism with four identical limbs and two moving platforms that are connected by a revolute joint.First,the displacement group theory is used to analyze the degrees of freedom of the mechanism,which has two moving platforms to perform two rotational and two translational motions(2R2T).Second,closed-form solutions are presented for the forward kinematics of the proposed mechanism.Finally,the Jacobian matrix of the mechanism is given.The singularity and stiffness of the 2R2T parallel mechanism are analyzed.The mechanism can be applied well in industry and medical field.

Key words:parallel mechanism;kinematics;degree of freedom;Jacobian matrix;performance analysis

通信作者:方跃法(1958—),男,安徽绩溪人,教授,博士,博士生导师.email:yffang@bjtu.edu.cn.

作者简介:温如凤(1981—),女,山东济南人,讲师,博士生.研究方向为并联机器人机构学.email:11116325@bjtu.edu.cn.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(51175029)

收稿日期:2015-08-14

DOI:10.11860/j.issn.1673-0291.2016.01.012

文章编号:1673-0291(2016)01-0072-08

中图分类号:TH112

文献标志码:A