空间索面悬索桥成桥线形的Marquardt修正最小二乘法计算

郑久建,丁 松,周洪彬,张婧琳,朴江民

(燕山大学建筑工程与力学学院,河北秦皇岛066004)



空间索面悬索桥成桥线形的Marquardt修正最小二乘法计算

郑久建,丁 松,周洪彬,张婧琳,朴江民

(燕山大学建筑工程与力学学院,河北秦皇岛066004)

摘 要:空间索面悬索桥线形计算由于吊杆和主缆的相互耦合而非常复杂,采用传统的影响矩阵法收敛困难.基于Marquardt修正的最小二乘法,为空间索面悬索桥线形计算提出一种新的解析算法,编制了相应的Matlab程序,并以某三跨空间索面悬索桥为例进行了验证.结果表明:此方法较影响矩阵法收敛精度高,对初值要求低,具有明显的优越性.

关键词:悬索桥;空间索面;成桥线形;最小二乘法;Marquardt修正

空间索面悬索桥由于同时存在横向矢跨比和竖向矢跨比,形成一个空间三维索系,在对竖向承载力影响不大的前提下,显著提高横向承载力和抗扭刚度[1].目前文献上报道的此类桥型仅十余座,包括韩国的永宗大桥、美国新奥克兰海湾桥、我国的天津富民桥、丰都长江大桥和杭州江东大桥.

目前空间索面悬索桥线形计算理论主要为分段直线理论、分段抛物线理由和分段悬链线理论,采用分段悬链线理论在不考虑主缆抗弯刚度的前提下最为精确[2-4].由于空间索面悬索桥几何非线性非常显著,通过非线性迭代进行计算时收敛困难甚至不收敛,目前解决此类问题的数学方法主要有牛顿法、模式搜索法[5]等算法.空间索面悬索桥由于主缆和吊杆的相互耦合,需要在三维空间建立平衡方程,引入3个变量,传统的影响矩阵法对初值要求较高,当初值偏离真实值较远时收敛困难,甚至由于影响矩阵产生奇异而无法收敛[5-7].本文作者利用分段悬链线理论,采用Marquardt修正的最小二乘法[8]解决空间索面悬索桥的线形计算.结果表明:此方法对初值要求较低,经过修正的最小二乘法可以有效地避免初值偏离真实值较远时无法收敛的情况.

1 基本方程

1.1 主缆的平衡方程

空间索面悬索桥的主缆虽然不在一个平面内,但在各吊点之间主缆只受自重作用,仍然可以采用平面的单索平衡方程,见下式.受力图示见图1.

1.2 吊杆的平衡方程

空间索面悬索桥的吊杆横向是倾斜的,只有把吊杆也看成悬链线才能精确地求出主缆的成桥线形,同样采用单索的平衡方程进行计算.吊杆计算图示见图2.

图2中py和pz(pzz)分别是吊杆端水平和竖向分力,dx和dz分别是上下端横向和竖向距离,qd i是吊杆自重集度.

2 主缆成桥线形的计算

2.1 主缆成桥线形计算步骤

空间索面悬索桥主缆成桥线形计算需要根据设计时给定的主缆各锚固点和IP点坐标,竖向矢跨比来确定.横向矢跨比不能任意给定,在吊杆下锚点竖向力和主缆各控制点给定的情况下是唯一确定的.

在成桥线形计算时一般先计算主跨,以设计时给定的中跨跨中垂点的竖向坐标和塔顶IP点的坐标为目标通过非线性迭代进行计算,然后以主缆顺桥向力相等为原则计算边跨.以主跨计算为例计算主缆线形的步骤为:

1)根据抛物线原理计算左顶IP点处主缆的三向分力Hxi、Hyi和Vi(i=1)作为迭代初始值[9].

2)计算主缆第i段.根据Hxi、Hyi和Vi、li、y解方程得到hi、Szi,得到第i段右端点的坐标(第i根吊杆上端坐标).

3)根据第i根吊杆的上下端点坐标和下端竖向分力计算得到吊杆的无应力长度Sd i、横坐向分力pyi、吊杆上端竖向分力pzzi.

4)重复步骤2),3),直到所有主缆段计算完成.

5)以右塔顶IP点的y、z坐标和垂点的竖向坐标为边界条件计算误差,见式(2).根据计算误差修正迭代初值重新进行计算直到收敛为止,得到主缆成桥线形和无应力长度.

式中:ez为右塔顶IP点z坐标偏差;ey为右塔顶IP 点y坐标偏差;eh为垂点竖向坐标偏差;Δz为两塔顶IP点坐标竖向之差;Δy为两塔顶IP点坐标横向之差;f为垂点竖向坐标.

2.2 修正值的求解

2.2.1 影响矩阵法

传统的影响矩阵法分别对Hxi、Hxi和Vi求偏导,由于计算机求偏导困难,数值计算一般分别以(Hx 0+1,Hy 0,V0)、(Hx 0,Hy 0+1,V0)、(Hx 0,Hy 0,V0+1)计算求得误差改变量[5]来近似代替求解偏导为

修正值为

2.2.2 最小二乘法

采用非线性最小二乘法求解.为了方便记x=[Hx 0,Hy 0,V0]'.根据非线性最小二乘法,目标函数为

当目标函数足够小时Hx0,Hy0,V0即为真实解.将fi(x)在x(k)处线性化展开一阶泰勒公式

求解线性最小二乘问题ϕ(x),记

从x(k)出发沿d(k)方向做一维搜索求得λk

在迭代过程中ATkAk容易产生奇异而无法收敛到正确结果.为了避免这种情况,采用Marquardt方法对经典的最小二乘法进行修正

2.2.3 Marquardt修正最小二乘法

本方法通过引入一个单位对角矩阵避免了奇异矩阵的产生.此外通过根据具体情况改变α来改变步长d(k)保证每次迭代都使目标函数值下降,防止由于d(k)过大而错过真实解,有效的保证了收敛性.算例分析表明此方法对初值要求低、收敛精度高,具有明显的优越性.

采用Marquardt修正最小二乘法的计算流程如图3所示.

3 算例分析

悬索桥随着跨度的增大,主缆的截面将会增大,自重不可忽略,此时通过抛物线计算得到的初值的精度可能偏低,造成影响矩阵法处理此类非线性问题时难以收敛[9].

分别按照影响矩阵法和本文指出的Marquardt修正的非线性最小二乘法,编制了Matlab计算程序,以某三跨空间索面悬索桥为例进行计算,跨径布置为100 m+266 m+100 m,布置见图4,材料特性见表1.

桥梁中垮,端吊杆下端竖向力为2 210.2 k N,其余吊杆为1 684.0 k N.塔顶IP点至吊杆下锚点横向间距为13.7 m,塔顶IP点至中跨跨中吊杆下锚点竖向间距为57.882 m,矢跨比为1/5.桥面设纵坡为2.2%半径为12 000 m的竖曲线.

表1 材料特性参数表Tab.1 Parameters of material characteristics

为了有可比性将两种方法的收敛条件统一定为式(2)三个目标变量的最大值小于允许误差ε(1e-5)m.按抛物线法给定初值(Hx 0,Hy 0,V0)=(34598,5262.5,27997),此时按传统的影响矩阵法和本文的最小二乘法进行计算都可以迅速收敛到真实解(Hx 0,Hy0,V0)=(36438,6454.9,27870).

由影响矩阵法编制的Matlab程序计算结果,发现只有在初值精度很高且三向分力比例在一定范围内才可以收敛.

当将初值偏离真实值较远时且比例相差很大时,如初值(Hx 0,Hy 0,V0)=(496500,400000,496500),采用传统的影响矩阵法已经无法得出解,而采用最小二乘法经过26次迭代仍然得到了真实解,见图5.在此例中最小二乘法虽然在速度上不及影响矩阵法(由于加入了两个判断避免丢根),但对初值的要求明显降低.

利用Matlab计算得到的各索段的无应力长度和主缆各节点坐标,在Midas中建立有限元模型.在成桥荷载作用下各节点位移见表2.

结果表明,利用Matlab计算所得的各节点坐标和无应力长度在Midas Civil中建立有限元模型,然后施加成桥荷载做静力分析,主缆节点位移均在1 mm以下,说明Marquardt修正最小二乘法计算空间索面悬索桥成桥线形具有较高的精度.

表2 Midas成桥荷载作用下主缆各节点位移Tab.2 Joint displacement of main cable for the bridge computed by Midas

4 结论

通过对空间索面悬索桥成桥线形计算的数值方法进行研究,可以得到以下结论:

1)相对传统的影响矩阵法,基于Marquardt修正的最小二乘法的空间索面线形解析算法虽然速度较慢但对初值要求低,容易收敛,可以解决传统影响矩阵法在空间索面悬索桥收敛困难的问题.

2)利用基于Marquardt修正最小二乘法的计算结果,在Midas Civil中建立成桥模型进行验证计算.验证结果表明Marquardt修正最小二乘法精度较高,完全可以满足设计要求.

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[9]雷俊卿.悬索桥设计[M].北京:人民交通出版社,2004.LEI Junqing.Suspension bridge design[M].Beijing:China Communication Press,2004.(in Chinese)

Least squares calculation with Marquardt correction for spatial cable shape of suspension bridge

ZHENG Jiujian,DING Song,ZHOU Hongbin,ZHANG Jinglin,PIAO Jiangmin

(College of Civil Engineering and Mechanics,Yanshan University,Qinhuangdao Hebei 066004,China)

Abstract:Because main cable and hanger coupling each other should be considered for the suspension bridge with spatial cables,the calculation is very complicated.Using traditional influence matrix method,we may not be able to solve the problem perfectly,because the computational convergence is difficult.The paper puts forward an analytical algorithm and writes the related Matlab programs for the calculation using the least squares method with Marquardt correction,which is verified by a three span suspension bridge.The results show that this method is of great preference than the traditional one because of high accuracy and low initial conditions.

Key words:suspension bridge;spatial cable;cable shape;least square method;Marquardt correction

作者简介:郑久建(1970—),男,河北滦县人,副教授,博士.研究方向为工程抗震和桥梁设计理论.email:zhengjiujian@126.com.

收稿日期:2015-08-12

DOI:10.11860/j.issn.1673-0291.2016.01.004

文章编号:1673-0291(2016)01-0026-05

中图分类号:TU398

文献标志码:A