一道教材习题的解法与推广

吕二动 安振平

在教材中有这样一道习题：若a，b>0，且a+b=1，求证：3a+3b<4.

这是一道十分经典的不等式题，在习题课教学中，教师与学生共同探究了该题的多种证明方法.

证明 （证法1：作差法）据题意有3a+3b-4=3a-3+3b-1=3a-3+31-a-1=3a-3+-1=（3a-3）（1-）.

∵00.∴（3a-3）·（1-）<0，即3a+3b<4.

（证法2：分析法）要证3a+3b<4，须证3a+3b-4<0，即证3a-3+31-a-1<0，等价于3a-3+-1<0，即（3a-3）（1-）<0.

∵00，∴（3a-3）·（1-）<0.

∴3a+3b<4.

（证法3：构造函数法）令f（x）=3x+31-x（0

令f ′（x）=0，得x=.易知函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，1）上是增函数.

∵ f（0）= f（1）=4，∴ f（x）<4，即3a+31-a<4.

∴3a+3b<4.

说明 当x=时，f（x）取得最小值，即 fmin（x）= f（）=2.

（证法4：反证法）假设3a+3b≥4对任意正数a，b恒成立.

∵3a+3b≥2，∴2≥4，即3a+b≥4，可得a+b≥log34>1，这与a+b=1矛盾.

故有3a+3b<4.

在讨论不同证法的时候，有位学生想到把题中的2个变量拓展到3个变量，提出推广1.

推广1 若a，b，c>0，且a+b+c=1，则3a+3b+3c<5.

经过师生共同研究后发现，用割线法较容易证明这个推广.

证明 由a，b，c> 0，且a+b+c=1，可知a，b，c∈（0，1）.

令 f（x）=3x，x∈（0，1），过点P（0，1），Q（1，3）作函数 f（x）的割线，其割线的方程为y=2x+1.

当x∈（0，1）时，如右图所示，割线y=2x+1在函数 f（x）=3x的上方，于是有3x< 2x+1.

分别取x=a，x=b，x=c，得3a<2a+1，3b<2b+1，3c<2c+1，则3a+3b+3c<2（a+b+c）+3=5.

说明 不等式3x<2x+1的证明也可以通过构造函数g（x）=3x-（2x+1），x∈（0，1），利用导数法证明.

根据前面的结论，我们还可以得到更一般的推广.

推广2 若x1，x2，…，xn≥0，且x1+x2+…+xn=1，则n≤3+3+…+3≤n+2.

（责任编校 冯琪）