也谈平行四边形存在性问题的解题策略

刘华为

对于平面直角坐标系中的平行四边形（顶点字母顺序非给定）存在性问题，文[1]从“平行四边形对角线互相平分”的性质入手，以“哪条线段为对角线”作分类标准确定所求点的位置，并运用中点坐标公式求其坐标.读后受益匪浅，也深受启发，现介绍另一种处理策略，以供参考.1知识剖析

1.1如何适当分类图1

问题已知直角坐标系中三点A、B、C，试确定点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.

众所周知，符合条件的点D有三个，如图1所示.至于如何分类并确定点D位置，除了文[1]介绍的“对角线划分法”外，还可以哪两边为邻边来分类（如以BA与BC为邻边得ABCD1、以AB与AC为邻边得ABD2C、以CA与CB为邻边得BCAD3）；或以哪个角为内角来分类（如以∠ABC为内角得ABCD1、以∠BAC为内角得ABD2C、以∠ACB为内角得BCAD3）；另外也可以顶点字母顺序分类，如ABCD1、ABD2C和BCAD3.

事实上，若以连接某两点的线段的类型（边或对角线）来分类操作性更强.如以线段AB为例，当AB为平行四边形的边时，将其向右平移，当点B与点C重合时得ABCD1，当点A与点C重合时得ABD2C；若AB为对角线，取其中点E，连接CE并倍长得BCAD3.

1.2如何求点坐标

设A、B、C三点坐标分别为（xA，yA）、（xB，yB）、（xC，yC），点Di的坐标为（xi，yi）（i=1，2，3），由平移的性质可知平移前后对应点在水平和竖直方向上平移的距离是相等的.所以对于D1，则有x1-xA=xC-xB且y1-yA=yC-yB；对于D2，则有x2-xB=xC-xA且y2-yB=yC-yA；对于点D3，则有x3-xA=xB-xC且y3-yA=yB-yC.运用上述方程（组）求对应点坐标显然有化繁为简化难为易之妙.2例题解析

2.1三定一动型图2

例1（2012年齐齐哈尔市）如图2，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA

（1）求A、B两点的坐标.

（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标.

（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由.

简析（1）A（0，3）、B（4，0）；（2）当△APQ∽△AOB时，t=1511，Q（2011，1811）；当△APQ∽△ABO时，t=2513，Q（1213，3013）；

（3）显然当t=2时，点P、Q坐标分别为（0，1）、（45，125）.设M的坐标为（m，n），

当AP为边时（如图2），对于APM1Q可视作把AP平移至QM1（点A与Q重合）而得，则m-0=45-0且n-1=125-3，得m=45，n=25；对于APQM2可视作把AP平移至QM2（A与M2重合）处而得，则m-0=45-0且n-3=125-1，得m=45，n=225；

当AP为对角线时，对于AQPM3可视作把AQ平移至M3P（点A与M3重合）所得，则m-0=0-45且n-3=1-125，得m=-45，n=85.

故满足题意的点M共有三个，分别为M1（45，25）、M2（45，225）和M3（-45，85）.

2.2两定两动型图3

例2（2015年荆门市）如图3，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系.

（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；

（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.

简析（1）OE=3、y=43x2+163x；（2）t=53；

（3）由于点C、E是定点，M、N为待定点，所以应以线段CE为分类对象，设M的横坐标为m.

当CE为平行四边形对角线时，由于抛物线的对称轴直线x=-2平分CE，所以M必为抛物线的顶点（-2，-163）；图4

当CE为平行四边形的边时，则所求平行四边形一定是把CE沿某一方向平移而得，显然向下平移无法找到符合条件的平行四边形，故只能向上平移.若把点C平移到对称轴直线x=-2上（点E在抛物线上），则得CEMN（如图4）.此时m-0=-2-（-4），即m=2，代入抛物线解析式求得M（2，16）；若把点E平移到对称轴直线x=-2上（点C在抛物线上），则得ECMN.此时m-（-4）=-2-0，即m=-6，代入抛物线解析式求得M（-6，16）.

与文[1]相比，本处理策略有两大优势：其一便于作图.不仅在已知三点时能准确确定第四点的位置，而且在已知两定点情形下也能运用自如，更凸显其作图的优越性.如例2若按文[1]的对角线确定法来确定两个动点M、N的位置就比较棘手了，但以CE为边或对角线分类，对应图形一目了然.其二便于求点的坐标.根据平移性质可直接列出关于平行四边形四个顶点横纵坐标的方程（组），不需要借助于中点坐标公式（应当指出的是，中点坐标公式是高中学习内容，此处运用属于超纲要求）或其他知识.因此，不仅计算量锐减，而且难度也大大降低，可谓一举多得！

参考文献

[1]胡柳青.平行四边形存在性问题的解题策略[J].中学数学杂志，2015（12）：40-42