浅谈分式函数的不定积分计算技巧

贾翠

摘 要 分式函数求解过程中，分析分式函数积分的类型，大致遵循“分子迎合分母”原则，采用凑微分法或凑因子法，获得解题方法。

关键词 分子迎合分母 凑微分 凑因子 分部积分中图分类号：O172.2 文献标识码：A

0引言

积分学的学习与训练既有利于锻炼学生的逆向思维和逻辑思维能力，又提高学生的发散思维。因此，在教学过程中如何引导学生掌握不定积分的计算方法和技巧，尤为重要。对于上述问题，很多文献对其研究。下面主要通过对常见分式 函数的求解，引导学生分析分式函数，从较复杂的函数入手，掌握计算方法，从而得出处理相应函数的计算技巧，也为学生解决难度较大的问题提供解题思路。

1几种类型的函数的积分

1.1分式函数

对于这类函数，多项式与多项式相除，遵循的原则为”分子迎合分母”，方式大致分为两种：凑分母中的因子；分子凑分母中的微分。以下以例题的形式，说明“分子迎合分母”的方式与技巧。

例1：dx

解法一：通过加减项，凑分母中的因子

原式=dx=dx€Hadx

=ln|x|€Haln（1+x2）+C

解法二：欲使分母的两个因子的次幂一样，分子分母同乘x，然后凑微分

原式=dx=（€Ha）dx2

=ln+C

注：此题也可运用倒代换，三角代换，平方代换，有理函数的积分方法求解。

1.2带有根式的有理函数

若二次根式下为二次多项式时，先整理平方和或者平方差的形式，再选择方法计算：利用基本的积分表计算；使用三角代换=asect，=atant，=asint；若被积函数出现多项式减根式，考虑分子或分母有理化简化，再化简。

若根式下为三次多项式，主要寻找符不符合凑微分的条件，或者采用第二类换元法，直接代换；

原式=2costdt=tan2tdt=tant€Hat+C

=€Haarcsin+C

注：此题也可运用倒代换，三角代换，平方代换，有理函数的积分方法求解。

例2：

解法一：遵循“分子迎合分母”原则，分母中根式下为三次多项式，分子中为二次幂，有（1€Hax3）'=€Ha3x2，从而想到凑分母中的微分，则

原式=€Had（1€Hax3）= =€Ha+C

解法二：可直接代换，令t=，x=（1€Hat2），dx=€Hat=（1€Hat2）-，

原式=·€Hat（1€Hat2）-dt=€Hat+C=€Ha+C

注：此题也可使用如下几个代换：t=x3 ，=sint求解。

1.3与其它函数的组合形式：

组合形式，引导学生从函数的层面，一般认为多项式函数是最简单的函数，从较为复杂的函数入手，考察复杂函数和多项式函数的关系：分析简单函数是不是复杂复杂函数的导数，两个函数的次数的大小，由此选择凑微分法，或者分部积分法求解。

例3：

解：直接采用分部积分，选择反三角函数作为u，计算中会引入反三角函数，因此要先整理，则

原式=arctanx（€Ha）dx

=€Haarctanx+€Ha（arctanx）2

=€Haarctanx+ln€Ha（arctanx）2+C

2总结

对于类似的分式函数，理清被积函数的复杂程度，遵照“分子迎合分母”原则，分析类型，从主要的复杂函数入手，寻求复杂函数和简单函数的关系：简单函数是复杂函数的导数或者两个函数的次数比较，由此考虑采用考虑凑微分、凑因子或者第二类换元法，再考虑分部积分。不定积分的计算是需要在多做练习的基础上逐渐灵活掌握其计算方法。在实际的解题过程中和教学过程中，主要通过多角度地分析函数，引导学生认清被积函数的特点，得出解题思路。

参考文献

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[3] 吉米多维奇.吉米多维奇数学分析习题集[M].北京：人民教育出版社，1978：166.

[4] 上宏昌.关于不定积分的分部积分法运算技巧[J].廊坊师范学院学报：自然学版， 2014：14.