用定积分求立体体积的一些教学思路

陈丹丹

摘 要 通过分析，在教学中可以将用定积分求旋转体和平行截面为已知的立体的体积时都归纳为平行截面为已知的立体，使得知识点更加系统化、条理化。

关键词 定积分求体积 教学思路

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

用定积分求旋转体和平行截面为已知的立体的体积是高等数学教学的一个难点和重点，课本上是分成两部分来展开的，一是给出旋转体的体积计算方法；二是给出平行截面为已知的立体的体积计算方法，这样使得学生也分成两类记忆和分析，知识点形式上的增多会使得学生在遇到求体积的题目时无从下手。将用定积分求旋转体和平行截面为已知的立体的体积时都归纳为平行截面为已知的立体，会使得知识点更加系统化、条理化。

1常用的《高等数学》课本上这部分知识体系的教学思路

（1）求由连续曲线y=f（x）、直线x=a、x=b、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的旋转体V1的体积。

用元素法分析选取x为积分变量，在区间[a，b]上任意选取小区间[x，x+dx]，那么这一小区间上的窄曲边梯形绕轴旋转一周的薄片体积的近似值也即体积元素为：

dV1=€%i[f（x）]2dx

那么所求体积为：

V1=€%i[f（x）]2dx

类似得到由连续曲线x=€%o（y）、直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的旋转体V2的体积：

V2=€%i[€%o（y）]2dx

（2）一立体是在轴上的点x=a，x=b且垂直于x轴的两个平面之间，且过点垂直于轴的截面的面积为A（x），A（x）在区间[a，b]上连续，求此立体V3的体积。

用元素分析法选取为积分变量，在区间[a，b]上任意选取小区间[x，x+dx]，那么这一小区间上体积的近似值也即体积元素为：

dV3=A（x）dx

那么所求体积为：

V3=A（x）dx

这种知识体系结构是分成两种类型的立体：旋转体和平行截面为已知的立体，然后分别利用定积分的元素法把两种类型立体体积计算方法给了出来，实际上抓住这两种类型的立体的特点可以把这两种立体归纳成一种类型的立体，然后再结合元素法求出立体的体积。

2新的教学思路

首先要给学生讲解清楚这样的思路：正如（2）中所描述的立体，如果垂直于某个轴的截面是已知的，再结合元素法，就可以用定积分把这个立体的体积表示出来，从这个角度出发再用元素法求出立体的体积，分析（1），（2）中的立体都是平行截面为知的立体：（1）中的旋转体是过区间[a，b]里的点x垂直于x轴的截面A（x）是已知的，且有：

A（x）=€%if2（x）

旋转体V2是过区间[c，d]里的点y垂直于y轴的截面A（y）是已知的，且有：

A（y）=€%i€%o2（y）

例1 求由曲线y=，直线y=2以及x=0所围图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积。

解 V是由曲线x=y2，直线y=2及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所得的立体，过点y垂直于y轴的截面的面积为A（y），且

A（y）=€%i（y2）2

那么体积元素为dV=A（y）dy

则：V€%i（y2）2dy=€%i

3结论

先从平行截面面积出发这个思路去求立体的体积，把平行截面的面积求出来再利用元素法把体积求出来，那么在遇到求立体的体积的题目时，学生在思路上就会有一个大方向，然后再用元素法得出体积的定积分表示，进而求出体积值。

参考文献

[1] 同济大学数学系.高等数学（第三版）[M].同济大学出版社，2014.