数形结合思想在初中数学教学中的应用

田贵龙

【摘要】数形结合是把握数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合。它将“静态”为“动态”，变“无形”为“有形”。它一方面是解题的过程，又是学生形象思维与抽象思维协同运用互相促进，共同发展的过程，对提高学生的观察能力和思维能力是非常有帮助的。

【关键词】初中数学 数形结合 教学策略

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）03-0192-02

随着新课改的推进，数学思想方法方面的教学得到教师的重视。数学的思想方法是数学这门科学的精髓，可以让人通过它领会到数学的本质，并且从数学的角度思考和解决问题。而数形结合是一种数学思想，在数学知识和解题方式上，都有进一步深化。初中数学新课程《标准》中，安排了“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合”四个学习领域，在每一个学习领域，都离不开两要素——数与形。数形结合贯穿了初中数学的两条主线，即“数”和“形”。倘若教师在初中数学教学中贯穿数形结合的方法，引导学生形成数形结合的思考直觉，则有助于学生培养良好的数学思维和解题思路。

一、有理数中的数学结合思想

数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉.对于每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）.相反数、绝对值概念则是通过数轴上的点与原点的位置关系来刻画的.尽管我们学习的是有理数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过数形结合的思想方法的运用，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则.相关内容的中考试题，应用数形结合的思想也可顺利得以解决。例如：有理数的加法与减法教学时，安排下列数学活动：

1.把笔尖放在数轴的原点处，先向正方向移动3个单位长度，在向负方向移动2个单位长度，这时笔尖停在表示“1”的位置上。用数轴和算式可以将以上过程及结果表示。

2.把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向负方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？请用数轴和算式表示以上过程及结果。

这样设计教学让学生从“形”上感受有理数的加法运算法则，采用人人都可以动手操作的笔尖在数轴上两次移动的方法，直观感受两次连续运动中，点的运动方向与移动的距离对实际移动效果产生的影响，通过“形与数”的转换，加深学生对有理数加法运算法则的理解。在学生充分自由活动的基础上，用“数形结合”的观点审视在数轴上的连续两次运动，探寻有理数加法的几何解释。由表示两次连续运动结果的点与原点的位置关系，确定两数和的符号；由表示两次连续运动结果的点到原点的距离，确定两数和的绝对值。

二、方程中隐含的数形结合思想

列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图，这里隐含着数形结合的思想方法。例如，行程问题教学中，老师应渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。

三、不等式中蕴藏着数形结合思想

教材在安排“解一元一次不等式组”的内容时，创设了这样的问题情境“杜鹃花种植问题”，意图是想让学生理解解一元一次不等式与二元一次方程组一样，需同时满足两个约束条件，让学生经历从问题到不等式组的建模过程。为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无数多个解.这里蕴藏着数形结合的思想方法.在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。

四、函数及其图像内容凸显了数形结合思想

因为在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P的一对应，使函数与其图像的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此.函数及其图像内容突显了数形结合的思想方法.教学时我们应注重数形结合思想方法的渗透，这样会收到事半功倍的效果。例如：在教学二次函数的应用时，设计这样的问题，如图所示，桃河公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m。

1.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不致落到池外？

2.若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少m（精确到0.1m）？安排学生活动：（1）分析实际问题中的量，分清常量、变量及变量的变化范围；（2）探索量与量之间的关系，变量的变化规律，确定函数关系；（3）根据函数关系式，求二次函数的最大值或最小值；（4）考查所得到的二次函数的最大值或最小值是否符合实际问题的意义，明晰结论。这样设计能根据实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题。引导学生从探索具体问题中的函数关系的经历中，体验将实际问题数学化的过程，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效的数学模型，进而获得相应的数学思想、方法和技能，感受数学的价值。

总之，通过数与形有机结合，使学生的思维完成从“形象”到“抽象”的概括，从“抽象”到“形象”的再现。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的应用。