时滞位置反馈对一类静电微传感器的吸合不稳定的控制研究

尚慧琳， 宋书峰， 文永蓬

(1.上海应用技术大学 机械工程学院，上海　201418；2.上海工程技术大学 轨道交通学院，上海　201620)



时滞位置反馈对一类静电微传感器的吸合不稳定的控制研究

尚慧琳1， 宋书峰1， 文永蓬2

(1.上海应用技术大学 机械工程学院，上海201418；2.上海工程技术大学 轨道交通学院，上海201620)

摘要：针对微结构在静电力作用下的吸合不稳定问题，考虑一类典型的单自由度静电驱动微传感器振动系统，将时滞位置反馈施加在系统的直流偏置电压上，研究引起微结构的动态吸合和吸合不稳定的系统参数条件，以及时滞反馈对吸合不稳定的抑制机理。运用Melnikov函数法得到时滞受控系统中引起结构吸合不稳定的交流电压的临界幅值。并基于时滞受控系统的安全域随控制参数的演变，定量上研究时滞反馈对吸合不稳定的控制。数值结果和理论分析均表明：在正的反馈增益系数和较小的时滞量下，时滞位置反馈能够有效地抑制静电驱动微结构的吸合不稳定现象。

关键词：安全域；时滞；吸合不稳定；微机电系统；分形

静电驱动是微机电系统中最常见的驱动方式[1]。静电力作用下微结构常出现静电吸合现象和吸合不稳定问题，这引起了微电子学、空气动力学、摩擦学和振动学等多学科领域的广泛关注[2-4]。其中，微结构的静电吸合在静电驱动微器件的设计中尤为重要，如在设计微开关时往往要利用微结构的静电吸合来实现微开关的闭合[2-3]，而在设计微传感器时则需要避免发生微结构的静电吸合，以免导致其功能失效[5]。微结构的吸合不稳定是指不改变微器件的设计参数，仅仅只有初始条件的微小扰动就导致微结构从原本的不吸合状态变为吸合的现象。这种不同于混沌的初始条件敏感性问题会降低微器件的安全性和可靠性，因此成为微器件的设计中所要避免的现象。

目前对微结构的吸合现象的力学研究大多是在半静态前提下进行的，即将微结构间的吸合归因于其静态平衡条件的破坏[3]或者静态加载下的微结构挠度过大[6-7]，通过平衡条件或静态挠度微分方程计算出的吸合电压专指直流驱动电压的吸合临界幅值。然而，实验研究发现[8]，在交流电压和直流偏置电压共同驱动下，微结构可以在比静态吸合电压低得多的直流电压幅值下发生吸合。这种驱动电压的动态载荷引起的吸合被称为动态吸合。从动力学的角度看，动态吸合属于非线性系统中的广义不稳定，即振动超过一定幅度产生的逃逸(escape)；微结构的吸合不稳定则可以理解为其振动系统的安全域侵蚀问题[5,8]，属于全局动力学范畴。其中，安全域被定义为有界解的吸引域的集合；安全域一旦出现分形边界，则初始状态稍有改变就可能引起无界运动使得系统崩溃，这种现象被称为安全域侵蚀，常用来解释船舶的倾覆[9]，大型结构的破坏[10]和电力系统崩溃等问题[11]，并于近年来被推广应用到对微结构的吸合不稳定问题的研究中[5,8,12-13]。

为了提高静电驱动微器件的性能，对微结构的吸合不稳定的控制研究正逐渐成为MEMS 领域的热点问题。然而，对于微器件，很难如同对宏观设备或器件一样在结构上实施振动控制：一方面结构尺寸的微小造成控制装置的加载难度，另一方面集中加载也容易引起微结构的变形。为此，对微结构无接触的驱动电路控制引起了人们的关注。如对于一类单边电容型微传感器，Alsaleem等[12-13]和Shao等[14]分别提出在其驱动直流偏置电压上施加时滞位移反馈和时滞速度反馈来控制结构的吸合不稳定现象，通过数值模拟其振动系统的安全域随控制参数的演变和实验验证了一定初始条件下控制的效果。其中，时滞反馈是非线性动力系统中控制混沌[15-17]和安全域侵蚀[18]等问题的常见方法。目前时滞反馈对静电微器件振动系统的吸合不稳定的控制机理并不明确，因此，针对静电力作用下微结构的吸合不稳定问题，本文研究一类典型的静电驱动微传感器，将时滞位置反馈施加在其直流偏置电压上，通过考察时滞反馈对其振动系统的同宿分岔和安全域侵蚀的抑制作用研究时滞反馈对微结构的吸合不稳定现象的控制机理和效果，从而为微传感器的设计提供一定的理论参考。

1动力学模型

考虑一类典型的静电驱动单边电容式微传感器，对其施加时滞位置反馈。在直流偏置电压和交流电压驱动下的结构振动模型可以简化为一类单自由度弹簧-质量-电容-阻尼振动系统[12-14]，其简化模型如图1所示，其中时滞位置反馈被施加在直流偏置电压上[12]。由于微传感器本身有传感信号输出，容易获取相应的反馈信号，这就为利用时滞反馈对微传感器振动系统实施控制提供了可行性。在图1中，根据牛顿第二定律，系统的动力学方程可表示为

(1)

式中:z表示微结构的位移，m表示微结构的等效质量，c，k和FE分别表示系统的等效阻尼系数，等效刚度系数和静电驱动力；基于平行板电容理论，在不计平行板电容的边缘效应的情况下，式(1)中的静电驱动力为

(2)

式中:ε0为真空介电常数，A为平行板电容的极板交叠面积，d为两极板间的初始距离，Vb和VAC分别表示直流偏置电压和交流电压的幅值，且满足VAC≪Vb,Ω为交流电压的频率，τ为反馈控制中的时滞量，而G则表示反馈增益系数，时滞位置反馈作为一个单通道控制方法,其反馈增益系数和时滞量是两个独立的控制参数。当式(2)中的τ=0或G=0时，有时滞位置反馈控制项G(z(t-τ)-z)=0，时滞受控系统式(1)退化成为无控制的原始的静电微传感器振动系统。对式(1)，若存在某一时刻t0，有z(t0)≥d，则图1中的左侧结构会吸合到右侧定极板上。

为表述简单和研究微结构吸合不稳定的控制机制方便，引入如下无量纲参数

(3)

将式(1)变换为无量纲化系统

(4)

对于式(4)，如果存在T0>0使得x(T0)≥1，则表示图1中的结构发生静电吸合。

图1　一类时滞反馈控制下典型静电驱动微传感器振动系统简化模型Fig.1 Diagram of the delay controlled system of a typical electrostatically actuated sensor

在式(1)中，若阻尼较小，时滞量小且驱动电压满足VAC≪Vb，则无量纲化系统式(4)中参数μ,β和τ均为小参数，可引入一个小参数ε重新标度系统参数

(5)

(6)

2时滞反馈控制机理

2.1无扰动系统分析

无量纲系统式(4)的无扰动方程，即ε=0时的式(6)为哈密顿系统

(7)

根据式(7)，式(4)的平衡点个数，有无势阱，以及势阱的具体位置和形态均取决于参数α。

证明：设

(8)

那么满足

F(a)=0

(9)

limx→1-F(x)=+∞,F(0)=α>0,

(10)

因此式(9)存在这样两个根xc和xs, 满足

(11)

式(7)的平衡点的特征方程可表示为

(12)

(13)

因此根据式(12)，式(7)的平衡点(xc,0)有一对纯虚特征根，因此为中心；而平衡点(xs,0)则为鞍点。

(14)

(15)

式中

(16)

图2　系统式(4)的无扰动相平面图Fig.2 Unperturbed phase portraits of the system (4)

(17)

结构才可能不发生吸合，以及存在不吸合的安全域。

2.2时滞位移反馈控制下的吸合不稳定临界条件

在微结构振动系统中，振幅超过一定限度(如式(4)中x(T)≥1)被统称为引起结构吸合的逃逸解。给定系统参数，如果系统的初始条件处在逃逸解的吸引域内，则会导致吸合现象。这里可将不会引起式(4)的动态吸合的安全域定义为所有满足x(T)<1的解的吸引域集合。安全域的分形侵蚀意味着式(4)的初始条件的微小变化就可能导致微结构的吸合。因此，式(4)的安全域侵蚀可以用以表征微结构的吸合不稳定。本节讨论导致时滞受控系统式(4)的安全域侵蚀的临界条件，以解释时滞位置反馈对微结构的吸合不稳定的控制机理。

由于在非线性系统中安全域的侵蚀通常可归因于同/异宿轨道的破裂，因此这里可以利用研究全局分岔问题的Melnikov方法来预测安全域侵蚀的临界条件。对于重新标度过的时滞受控系统式(6)，如果其无扰动系统的同宿轨线能够表示成时间T的显函数，则通常可以直接将同宿轨线表达式代入Melnikov函数积分，从而得到同宿分岔条件的解析形式，然而由于式(6)的无扰动系统的同宿轨线并不能表示为时间T的显函数，因此这里根据式(16)反过来将时间T表示为x的函数

(18)

在0<τ<1/ω0的小时滞量下，可将式(6)中的时滞反馈项看成摄动项，对其进行泰勒展开，忽略ε2及其更高阶项，则受控系统式(6)成为

(19)

将ε的一次项均看作摄动项，则系统相应的Melnikov函数可表示为

-μL1-2αγω0τL2-2αβL3sinωT0

(20)

式中

(21)

尽管式(21)中Li(i=1,2,3)均不能将解析形式直接积分出来，却可以结合式(15)，式(16)和式(18)在给定系统参数值的情况下计算得到，因此算是半解析形式，依赖于原系统式(1)的参数ε0,A,Vb,k,d,m和Ω的取值，而独立于阻尼系数c以及控制参数G和τ的取值。且由式(16)可知，L1和L2均为正数。因此，当

(22)

Melnikov函数式(20)存在简单零点，式(4)出现同宿轨道破裂，这意味着系统安全域侵蚀。将上式用原系统式(1)的参数来表示，则微结构吸合不稳定的式(1)的参数条件为

(23)

(24)

由式(23)和(24)可知，交流电压幅值越高越容易发生吸合不稳定；同时，系统阻尼系数越大，交流电压临界幅值越高，也就越不容易发生微结构的吸合不稳定现象，这与经典非线性系统中[11,18]阻尼系数的增大能够抑制安全域侵蚀的结论相一致。而对比式(23)和(24)容易发现，当G>0时交流电压临界幅值会随着时滞量而增大，即时滞量的增大能够抑制吸合不稳定。给定式(1)的参数取值见文献[12]，即

m=2.1×10-4kg,c=0.001 4 N·s/m,

k=320 N/m,ε0=8.85×10-12F/m,

d=38 μm,A=39.6 mm2,

Vb=40.2 V,Ω=189.5 Hz,G=80 Vs/m

(25)

图3　时滞受控系统式(1)中随时滞量的变化Fig.3 of the delayed controlled system (1) versus time delay

3数值算例

图4　不同VAC取值下时滞受控系统式(4)的安全域随时滞量的演变Fig.4. Sequences of safe basins of the delayedcontrolled system (4) with variation of the delay under different values of VAC

为了方便解释说明，仍以原系统式(1)中的参数，即交流电压幅值和时滞量，为变化参数。由图4(a)～4(c)，当τ=0时，即系统无控制情况下，安全域的尺寸会随着交流电压幅值的增大而逐渐减小，其边界的分形也越来越明显。图4(a)～4(c)中的安全域侵蚀也说明在相应的电压下无控制系统的微结构均存在吸合不稳定问题。对于τ≠0的情况，即时滞位置反馈控制下(见图4(d)～4(i))，安全域仍会随着交流电压幅值的增大而被侵蚀，这一点与无控制系统是一致的，也验证了上一节的定性结论。在图4中，随着时滞量的增大，在同等电压下，受控系统安全域变大，侵蚀程度也有所减轻。其中对比图4(a),4(d)和4(g)可以看出，对于VAC=4.5 V，当时滞量增大到1 ms时，系统的安全域边界已变得光滑，这说明安全域侵蚀完全得到抑制，相应地，微结构也不会发生吸合不稳定；当时滞量继续增大到1.8 ms时，系统安全域边界同样光滑，并且面积继续增大。对于VAC提高到6 V(见图4(b),4(e)和4(h))，时滞量增大到1.8 ms时系统的安全域侵蚀得到完全抑制。而当VAC提高到9 V，尽管时滞量从0增大到1.8 ms，安全域边界始终分形，但安全域有明显增大，这同样说明其侵蚀得到一定程度地抑制。由图4可知，当反馈增益系数大于零时，时滞量的增加能够抑制安全域的侵蚀。其中，不同的时滞量所对应的吸合不稳定的交流电压临界幅值的数值结果与上节的半解析结果的对比如图3所示，可以看出二者非常接近，这也验证了理论分析的有效性。由此可见，在正的反馈增益系数下，时滞量的增大能够明显提高引起吸合不稳定的交流电压门槛值和吸合行程。文献[12]中通过实验对比无控制和时滞位置反馈控制微结构在初始状态为平衡状态下的振动响应，发现前者吸合而后者不吸合，也验证了这一点。综上所述，时滞位置反馈能够有效地抑制系统微结构的吸合不稳定。

4结论

本文以一类时滞位置反馈静电驱动电容型微传感器振动系统为研究对象，考察施加在驱动电压上的时滞反馈对于微传感器结构的吸合不稳定现象的控制。利用全局分岔理论和Melnikov方法分析了时滞反馈对于微结构的吸合不稳定现象的控制机理。并以时滞受控系统的安全域侵蚀程度来描述系统微结构的吸合不稳定现象，从而通过定量研究时滞受控系统的安全域随系统参数的演变来验证理论预测的有效性。研究发现，直流偏置电压的增大容易引起微结构的静态吸合，而阻尼的增大有利于抑制微结构的吸合不稳定；在正的反馈增益系数和较短的时滞量下，时滞量的增大能提高结构吸合不稳定的交流电压临界幅值和吸合行程，从而有效抑制微结构的吸合不稳定。事实上，文中无时滞反馈控制的非线性参数激励系统不仅能够描述一类单自由度微谐振器或微加速度计振动模型，还可以描述两自由度微陀螺振动系统的驱动模态[19-20](微陀螺振动系统的驱动模态中检测方向产生的科氏力极微弱，往往忽略不计)。因此，研究结果在提高基于此的静电微加速度计的性能稳定性和优化微结构的设计方面有着潜在的应用价值，也为进一步研究其它静电微惯性传感器的振动控制机理奠定理论基础。

关于直流偏置电压和交流电压共同作用下微结构的动态吸合实验目前主要是检测初始状态为平衡状态时微结构的振动响应，如吸合或不吸合[12-14]。而实验验证微结构的吸合不稳定现象则需要涉及初始条件的更多种情况，例如考察微结构初始状态在零平衡态时吸合与否，以及与初始状态在零平衡态附近扰动时吸合情况是否一致，情况更为复杂，国内外对于微结构的吸合不稳定现象的研究大多仍是通过数值模拟来开展[5,8,12-14]。为此，实验验证时滞控制方法对微结构的吸合不稳定现象的抑制和吸合行程的提高将是作者下一步工作的重点。

参 考 文 献

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Controlling pull-in instability of a typical electrostatically actuated microsensor with time-delay position feedback

SHANGHui-lin1,SONGShu-feng1,WENYong-peng2

(1. School of Mechanical Engineering, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China; 2. College of Urban Railway Transportation, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China)

Abstract:In order to study pull-in instability of a microstructure under electrostatical force, a typical single-DOF electrostatically actuated MEMS sensor was considered. The time delay position feedback was exerted on the DC bias voltage of the system. The conditions of system parameters to reduce the pull-in instability of the microstructure were studied. The mechanism of the time delay position feedback to improve the pull-in stability of the microsensor was investigated in detail. The threshold of AC voltage amplitude for pull-in instability in the controlled system with time delay position feedback was obtained with Melnikov method. Based on the evolution of the safe basin of the controlled system versus control parameters, the effects of the time delay feedback on suppressing the pull-in instability were studied quantitatively. The numerical results and theoretical analysis showed that the time delay position feedback can effectively suppress the pull-in instability of the electrostatically actuated MEMS structure under a positive feedback gain and a smaller time delay.

Key words:safe basin; time delay; pull-in instability; micro electro-mechanical system (MEMS); fractal

中图分类号:O322;TP202

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.013

收稿日期：2015-06-16修改稿收到日期：2015-09-08

基金项目：国家自然科学基金面上项目(11472176);上海自然科学基金项目(15ZR1419200)

第一作者 尚慧琳 女，博士，副教授，1983年3月生