时域响应中传感器附加质量影响消除

尹　涛

(武汉大学 土木建筑工程学院，武汉　430072)



时域响应中传感器附加质量影响消除

尹涛

(武汉大学 土木建筑工程学院，武汉430072)

摘要：提出了一种时域内的传感器附加质量影响消除方法。利用时域实测自由响应数据，通过特征系统实现算法进行模态参数识别，获得传感器附加质量影响情况下的模态参数。以实测模态参数为基准，采用信赖域和非线性最小二乘算法对考虑传感器附加质量的结构初始有限元模型参数进行识别与修正，并以修正后的有限元模型为基础预测传感器附加质量消除所引起的模态参数改变。基于振型叠加法原理建立时域内传感器附加质量影响消除的识别方程组，并结合有限元预测的模态参数改变反演传感器附加质量影响消除情况下的时域响应。通过对一个实验室两端夹支梁模型实测时域响应中传感器附加质量影响消除进行研究，对所提出的方法进行验证。

关键词：时域响应;传感器附加质量;特征系统实现算法;最小二乘法;有限元模型修正;振型叠加法

试验模态分析通过试验将采集到的系统输入与输出信号经过参数识别而获得模态参数，是结构动态设计及设备故障诊断的重要方法。实际应用中，试验模态分析结果主要受随机误差及系统误差的影响。从统计学和概率论上讲，随机误差(如测量噪声)影响可以很简单地通过多次测量取平均值的方式来有效减轻，而系统误差影响的消除则相对较困难。其中，测量元件系统误差影响通常可以通过硬件补偿来消除，但试验模态分析中传感器附加质量对模态参数识别结果的系统误差影响即使通过硬件上的补偿也难以弥补[1]。在实际模态试验中，传感器的附加质量相对于一般结构通常是很小的，可以忽略其对模态识别结果的影响。然而，对于小型轻质结构或结构构件而言，传感器附加质量不可忽略，将对模态测试结果精度影响较大，尤其体现在较高频段。因此，研究如何有效补偿或消除传感器附加质量影响，对如航空航天器及机械零部件等小型轻型结构振动特性分析具有重要意义。

目前，已有学者在传感器附加质量影响消除方面开展了相关研究工作。有文献对于从驱动点频率响应函数(FRF)与转移FRF中消除传感器附加质量的影响问题进行了研究[2-3]。然而，这些方法需要获取所有测量点上的驱动函数，该过程非常耗时以致有时甚至不可行。又有学者提出通过改变传感器质量的方式重复试验以消除转移FRF中传感器附加质量影响的方法[4]，但该方法需要对一个容易受测量噪声干扰以及容易产生病态的矩阵进行求逆运算，数值计算稳定性较差。有文献对于测量FRF提出了一种既可用于消除固定传感器亦可用于移动传感器附加质量影响的方法[5]，但对于移动传感器附加质量情况，需要采用增设虚拟质量的方式予以考虑。此外，还有文献研究了从实测频率响应函数中同时消除传感器和激振器附加质量的问题[6-7]. 国内也有学者对FRF中的传感器附加质量影响消除进行了研究[8]。

以上所提及的传感器附加质量影响消除的研究工作均是针对测量到的FRF，通过理论计算修改FRF矩阵来实现。而就目前的研究现状来看，对于实测时域响应信号中传感器附加质量影响消除的研究工作尚鲜见报道。时域响应信号是结构动力测试最原始的测量信息，包含丰富的结构模态信息，而对于以时域信号为研究对象的结构健康监测而言，时域响应又是最基本的输入参数；同时，直接对时域信号进行操作就无需将测试信号在时域与频域之间变化，这就避免了由FFT等数据变换而引起的截断误差影响。因此，研究时域响应信号中的传感器附加质量影响消除同样具有重要的理论意义和实用价值。

本文提出了一种针对结构多点实测自由响应的传感器附加质量影响消除方法。首先，利用含传感器附加质量影响情况下的时域自由响应实测数据，通过自编特征系统实现算法进行模态参数识别；然后，以实测模态参数为基准，采用作者此前提出的基于信赖域算法和非线性最小二乘的有限元模型修正方法对结构初始有限元模型(FEM)进行修正，并以修正后的FEM为基础预测传感器附加质量消除所引起的模态参数改变量；最后，基于模态振型叠加法原理建立时域传感器附加质量影响消除识别方程组，并结合有限元预测模态参数改变来反演传感器附加质量影响消除情况下的时域响应信号。

1理论背景

1.1模态参数与模型参数识别

本文采用自编特征系统实现算法(ERA)实现时域信号中的模态参数提取。该方法属多输入多输出的时域整体模态参数辨识方法，能非常有效地识别小阻尼结构模态参数[9]。该算法最重要的步骤之一是形成系统脉冲响应的Hankel矩阵，形式如下[10-11]：

(1)

式中：

YTk=Y(kΔt)T=[y1,y2,…,yNO]∈R(p+q-1)×NO

(2)

式中：Δt为采样时间间隔，Yk为在第k个采样间隔上的自由响应矩阵，yp∈Rp+q-1为响应向量，p=1,2,…,NO。参数Np和Nq分别代表Hankel矩阵H(k-1)行和列的数目，其数值选择的基本原则是使Hankel矩阵H(k-1)的秩不小于系统阶数。实际应用中，有文献建议Nq值需近似取为待识别系统模态阶数的10倍左右，而Np值则取为Nq值的2倍～3倍[12]。

在式(1)中令k=1即可得到H(0)矩阵，再对H(0)执行奇异值分解如下

H(0)=UΣVT

(3)

式中：U和VT分别表示Hankel矩阵H(0)的左、右奇异向量矩阵，Σ为奇异值矩阵。通过保留前m个最大的特征值以确定H(0)矩阵的秩，同时得到三个缩减的左、右奇异值向量及奇异值矩阵，即Um,Σm及Vm。此时，原始离散线性动态系统的估计状态及输出矩阵可分别表示为：

(4)

式中：ETm=[INO,0NO,…,0NO]，INO,0NO∈RNO×NO分别为对角元素为1的单位方阵以及零方阵，NO为观测自由度数目，也即传感器数目。

(5)

式中：j=1,2,…,Nm，Nm为测量模态阶数，ωj，φj及ξj分别表示结构系统第j阶无阻尼自振圆频率、模态振型以及模态阻尼，i为虚数单位。综合各阶实测模态参数可得如下形式：

(6)

为叙述方便，将NO个传感器的附加质量表示为向量形式，即mS={mS1,mS2,…,mSNO}T∈RNO，并假定式(6)中给出的模态参数是在包含传感器附加质量影响情况下测得的。

另一方面，对于采用参数向量θ∈RNθ描述其输入输出特性的一类参数化结构模型M(Nθ代表参数向量θ的维数)，在给定测量模态参数D条件下，为使结构模型计算模态与实测模态误差最小，需对原模型建模参数进行识别与修正。为识别未知模型参数θ，将表征各阶固有频率计算值与实测值吻合程度的目标函数定义为带边界约束的非线性最小二乘的形式如下：

(7)

式中：l≤θ≤u。向量u,l分别为待识别无纲量模型参数θ的上、下边界约束。ωj(θ;mS)表示计入传感器附加质量影响情况下的第j阶固有频率计算值。

将目标函数向量F(θ;mS,D,M)∈RNm的第j个元素Fj(θ)在θk附近展开为一阶Taylor级数形式，则目标函数f(θ;mS,D,M)可以近似表示为：

f(θ;mS,D,M)≅

(8)

式中， gk=g(θk)=▽f(θk)=J(θk)TF(θk)

Gk=G(θk)=▽2f(θk)=J(θk)TJ(θk)

(9)

2.2传感器附加质量影响消除

在t时刻将各测量通道的自由响应信号表示成向量的形式如下

y(t)={y1(t),y2(t),…,yNO(t)}T∈RNO

(10)

响应向量y(t)中第p个测量通道的响应可以通过振型叠加法由下式表示为

(11)

α={A1,B1,A2,B2,…,ANm,BNm}T∈R2Nm

(12)

参考式(11)，由于测点xp处的响应值yp(t)可以由各阶未知系数Aj与Bj线性表示，因而考虑各测量点以及各阶测量模态后，可以形成如式(13)所示线性方程组，以求解2Nm维待识别未知系数向量α。

zNNO×1=SNNO×2Nmα2Nm×1

(13)

式中，NNO维响应向量z可以由各测量通道的自由响应向量yp∈RN，p=1,2,…,NO，表示如下，

(14)

NNO×2Nm维矩阵S(见式(15))表示响应向量z与待识别未知系数向量yp之间的联系矩阵，由与振型测量点相关的各分块子矩阵构成，

(15)

式中，Sp∈RN×2Nm表示矩阵S中与振型测量点xp相关的第p个分块子矩阵，p=1,2,…,NO，其具体形式见式(16)。

(17)

(18)

(19)

接着，利用式(14)即可分别得到各测量通道消除传感器附加质量影响后的N维预测响应向量yp，p=1,2,…,NO。

2模型实验研究

本文采用的实验室梁模型是由一根两端均由平口钳钳固的均匀铝质扁梁，架立在一根槽钢基座上所构成的，如图1所示，其几何与材料参数由表1给出。本实验模型采用平口钳钳固的方式来施加梁边界约束条件，依据文献[14]的模型实验经验，该边界条件不能作为理想刚性固接，而应当视作半刚性联结，存在转动刚度，因此，本文根据之前文献经验以及初步试算选取一定大小的转动刚度来模拟梁模型两端的半刚性联结约束条件，其转动刚度数值大小见表1。

图1　实验室两端钳固梁模型Fig.1 Laboratory beam model with two clampedends

参数量值梁长度L/m0.845梁截面高度h/m0.008梁截面宽度b/m0.025弹性模量E/(N·m-2)6.89×1010质量密度ρ/(Kg·m-3)2.66×103泊松比μ0.33传感器+夹具质量mS/g55小传感器质量mS0/g6.5梁左端转动刚度k1/(N·m·rad-1)8.086×103梁右端转动刚度k2/(N·m·rad-1)8.086×103

本文采用的实验装置系统如图2所示，其由实验梁模型、加速度计及自制夹具、测试导线、八通道信号调理器、冲击力锤、笔记本电脑以及基于LabVIEW编程实现的加速度信号采集软件所构成。该软件能实现加速度信号的实时显示、存储以及回放等简单功能，可满足实验要求，而模态参数识别则基于MATLAB程序的自编ERA算法实现。

图2　实验装置系统布置Fig.2 Experimental equipment configurations

如图2(a)所示，加速度传感器共有4个。其中，3个质量较大的加速度传感器(见图2(c)，每个质量35 g，含夹具共55 g)分别对应CH1、CH2及CH3通道，且分别位于梁纵向上距梁左端支承13.5 cm、50.5 cm以及66 cm处。而质量较小的加速度传感器(质量6.5 g)共1个，其布置位置与前面第2号(CH2)较大质量传感器重合，即也在距梁左端50.5 cm处，其具体布置方式参见图2(d)。采样频率为2 000 Hz，每次采样时长约2 s。值得指出，限于实验条件，目前尚无法采用非接触式的振动测量装置(如高精度激光测振仪[14]等)来实现消除传感器附加质量影响条件下的振动响应直接量测。因此，本文采用设置小质量传感器的方式来间接实现传感器附加质量影响消除条件下的振动响应量测(见图2(b)、(d)及(e))，用以验证传感器附加质量影响消除效果。基本思路是将小质量传感器视作梁结构的组成部分，其始终与梁模型保持固定状态，而仅将大质量传感器的附加质量作为消除对象(见图2(a)与(b))，以CH2通道为例来验证。

本文提出的传感器附加质量影响消除方法具体实施过程为：首先，对实验梁施加冲击荷载激励，测量梁模型在含传感器附加质量影响下的时域响应，即从3个较大质量传感器中同步采集加速度测量信号(见图2(a))；为研究方便，控制激励位置及频带范围(本例激励点距离梁左端34 cm固定不变)，使其刚好激励出前4阶模态，并采用自编ERA算法进行模态参数识别，识别结果见表3。其次，利用ANSYS软件建立实验梁初始FEM，其包含传感器附加质量且合理考虑梁两端半刚性联接条件，以含传感器附加质量的实测固有频率为目标，采用本文模型修正方法对FEM进行修正，本例选取的模型修正参数为铝质梁的弹性模量、质量密度以及两端半刚性联结处的转动刚度值，参数取值及模型修正结果分别见表1和表2。再次，基于修正后FEM计算并预测传感器质量移除前后的固有频率改变量Δω(见表2末列)，结合Δω并采用本文提出方法对各原始测量通道(即CH1、CH2与CH3)在消除传感器附加质量影响条件下的实测加速度响应进行重构，响应重构结果见图3和图4。最后是重构响应验证阶段，以CH2处响应为例，移除3个较大质量传感器及其夹具(见图2(b))，重复实验以获取小质量传感器的加速度时程响应，用以验证CH2通道处的时域响应重构效果，验证结果见图5。

表2　含传感器附加质量影响的有限元模型修正

从图3中给出的时域对比结果中可以看出，各通道原始(即含传感器附加质量影响)实测加速度响应与重构响应(消除传感器附加质量影响)差别显著，这表明传感器附加质量对时程响应影响较大。这一点也可以从表2末列中修正后FEM预测频率改变量Δω的数值大小上反映出来，同时也可以明显看出传感器附加质量对高阶模态的影响更大，即从第1阶频率改变量7.15 Hz逐渐增加到第4阶频率的81.76 Hz，这与目前相关文献中的研究结果相符，如此明显的固有频率改变势必会引起原始实测响应与重构响应之间的较大区别。另一方面，图4从频域角度反映出各测量通道原始实测响应与重构响应之间的差别，该图清楚地表明高阶模态受传感器附加质量影响较低阶模态更大，因而传感器附加质量的消除对于小型轻质结构的高频特性至关重要。

图3　消除传感器附加质量影响后各通道重构响应与原始实测响应对比Fig.3 Comparisons of original responses and predicted ones by removing the transducer mass loading effects

图4　消除传感器附加质量影响后各通道重构响应与原始实测响应的频域内对比Fig.4 Comparisons of original responses and predicted ones by removing the transducer mass loading effects in frequency-domain

此外，基于ERA算法对各测量通道重构响应进行模态参数识别，获得的各阶固有频率、模态阻尼比以及归一化模态振型识别结果见表3。从该表中可以看出，与原始实测响应的模态识别参数相比，除固有频率的正常差别外，重构响应的模态阻尼比与原始实测响应相同，且模态振型相差很小，这表明了本文方法所获得的消除传感器附加质量影响情况下的重构响应很好地继承了原始实测响应的基本动力特征。

表3　消除传感器附加质量影响的模态参数重构

图5　CH2通道消除传感器附加质量影响后重构响应与原始实测响应及目标实测响应对比Fig.5 Comparisons of responses from original, predicted, and target measurements for CH2

作为本文方法的验证，图5分别从时域和频域两方面验证了CH2通道在消除传感器附加质量影响情况下重构响应的准确性，其与原始实测响应及目标实测响应均进行了对比。如前所述，本文目标实测响应是通过设置小质量传感器来获得的。从时域上来看，图5(a)中对比结果明显反映出重构响应(粗实线)与目标实测响应(细实线)彼此很接近，且它们均与原始实测响应(虚线)有较大差别。图5(b)中的频域对比结果也表明，重构响应与目标实测响应的频谱图很吻合，这也进一步验证了前面的时域对比结果。此外，基于ERA算法的目标实测响应模态识别结果也列于表3，可以看出，相对于原始实测频率而言，各阶重构固有频率与目标实测频率值的吻合程度大大提高，这与图5(b)中给出结果相符合。应该指出，尽管本文仅对CH2通道的重构响应进行了验证，但其他通道的研究结果情况均很类似。

图6　CH2通道基于初始FEM和修正后FEM的重构响应对比Fig.6 Comparisons of predicted responses by proposed method from initial FEM and updated FEM for CH2

图6研究了有限元模型修正与否对于重构响应的影响，以CH2通道为例，分别基于初始FEM和修正后FEM，计算了传感附加质量消除前后固有频率改变量Δω，并以此分别重构出传感器附加质量影响消除情况下的时域响应。从对比图中可以明显看出，对于本例而言，尽管初始FEM与修正后FEM计算固有频率相差较大(见表2前两列)，但两者重构响应的时-频域图均相差较小，由于本文方法重构响应仅采用固有频率改变量Δω，求差运算对有限元模型误差具有一定的抵消作用。具体地，从图6(a)中可以看出，基于初始FEM重构响应的第3、4阶固有频率值较修正后FEM的重构响应偏低，且第4阶比第3阶偏低的程度大，但对前两阶模态几乎无影响。这表明，FEM的修正与否对高阶模态影响较大，而对低阶模态几乎无影响或其影响可以忽略。另外，从时域对比图中也可以看出两者高频成份信号存在一定差异，当然随着时间的推移，信号中的高频成份会很快衰减，而此时仅包含较低频成份的响应信号对于FEM是否修正则会表现得越来越不敏感。由此可见，本文提出的FEM修正策略对于确保重构出的传感器附加质量影响消除情况下时域响应信号中高频成份的准确性起到了关键作用。

3结论

本文提出了一种针对时域响应信号传感器附加质量影响消除的系统方法，通过对一根两端钳固梁模型开展实验研究，验证所提出的方法，并获得以下主要结论：传感器附加质量对小型轻质结构动力响应影响很大，且对信号高频成份的影响程度较低频成份大得多；本文基于有限元模型预测固有频率改变量的重构响应方法对于有限元模型误差具有一定的鲁棒性；有限元模型修正结果对重构响应中高阶模态影响较大，而对低阶模态影响逐渐减小以至可以忽略，因而模型修正过程对于确保重构响应高频成份的准确性至关重要；本文提出的传感器附加质量影响消除方法能同时实现时域与频域信号重构，可以直接适用于多输入多输出系统，同时也容易推广到输入荷载未知的环境激励情况；应该注意，除传感器本身质量外，传感器与信号调理器之间的连接导线实际上也具有一定的质量，会对重构响应结果产生影响，这在今后的研究中要予以考虑。

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Elimination of transducer additional mass effects in time-domain responses

YINTao

(School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Abstract:A method was developed for eliminating transducer additional mass effects (TAME) in time-domain responses here. By utilizing measured free vibration response data, modal parameters including the effects of transducer additional mass were firstly identified with the eigensystem realization algorithm. Then, the initial finite element model of the target structure with transducer additional mass effects was updated with the experimental modal parameters, and the changes of modal parameters due to elimination of transducer additional mass were predicted with the updated finite element model. Furthermore, a set of identification equations for eliminating TAME was set up based on the modal superposition method, and TAME were eliminated from the original measured time-domain responses with the previously predicted changes of modal parameters. Finally, the proposed method was verified with dynamic tests for a laboratory beam under clamped-clamped boundary conditions.

Key words:time-domain response; transducer additional mass effects (TAME); eigensystem realization algorithm; least-square method; finite element model updating; modal superposition method

中图分类号:O211; O321

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.005

收稿日期：2014-12-05修改稿收到日期：2015-03-16

基金项目：国家自然科学基金(51208390)；教育部博士点基金(20110141120026)；湖北省自然科学基金(2011CDB265)；中央高校基本科研业务专项经费(271198;273766)

作者 尹涛 男，博士，副教授，1979年生