浅谈函数教学中的对称性问题

江苏省白蒲高级中学(226500)

葛雯雯●



浅谈函数教学中的对称性问题

江苏省白蒲高级中学(226500)

葛雯雯●

对称性是函数的一项基本性质，不仅准确详细地刻画了函数各部分之间的关系，同时利用对称性也能巧妙解题.本文主要从函数自身对称，不同函数的对称和函数对称性的应用这三方面入手，着重为我们阐述了该如何应用函数的对称性，并且对一些典型的例题进行了分析和讲解，以便学生能够熟练地应用函数的对称性去解题.

函数对称性；自身对称；对称应用

一、自身对称、深入剖析

其实，我们对于函数的自身的对称性主要是从两个方面入手的，即函数自身关于点对称和关于直线的对称，只要将函数这两方面的性质熟练掌握并灵活应用，那么函数自身的对称性这一模块我们便可轻松攻破了.

题目“已知函数y=f(x)满足方程f(x)+f(4-x)=2，则y=f(x)关于( )对称.”这类问题的求解思路其实很简单，很明显根据题干所给信息我们可知f(x)是关于点对称的，我们知道函数y=f(x)的图象关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x) +f(2a-x) = 2b，将该结论代入可得题目中的对称点应该(2,1)，这样的话这类问题也就迎刃而解了.其实关于直线对称问题的求解思路也是一样，我们需要让学生们记下结论y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x).然后代入公式求解即可.而对于三角函数sinx，tanx等这类特殊函数的对称性的研究我们需要具体问题具体分析，我们需要让学生们熟练画出这类函数的图象，然后再根据图象写出相应函数的对称轴和对称中心.

总体来说，对于函数的自身的对称性的问题的求解这类问题比较套路化，只需代入结论便可直接写出答案.

二、多种对称、熟记性质

对于函数对称性的研究，除了研究函数自身的对称性这一部分，还有一大模块即是对不同函数的对称性的研究，对于不同函数的对称性，我们需要具体问题具体分析，根据不同函数的特点来对症下药.

下面我们选择一道有代表性的题来具体分析一下怎样求解函数关于某点或者某条直线的对称函数：“若函数f(x)与g(x)关于原点对称，f(x)=2x2+4x-7，求g(x)解析式.”这个问题很明显是关于点对称的，这类问题的求解思路其实很简单，我们需在函数上选取几个有代表性的点，求出这几个点关于对称点的对称坐标，之后我们利用函数对称之后形状不变的特性将这几个点代入便可以求得对称后的方程了，这类问题也就迎刃而解了.关于直线对称问题的求解思路也是一样，我们只需按照固定的套路按部就班地进行求解即可.而有些函数由于其自身的特殊性，比如本题中的原函数是二次函数，我们可以充分利用其对称轴和顶点的特点，若能结合性质代入特殊点可能会大大简化计算过程.所以说对于不同函数的对称性来说，我们不能一概而论，要结合不同函数自身的性质来选取合适的点代入，这样的话才会事半功倍.

关于不同函数的对称性，也有一些总结好的结论和公式，比如：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点A(a,b)成中心对称，函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a成轴对称等，这些结论可以让学生们针对自己实际的学习情况酌情选择记忆.

三、应用对称、巧妙解题

在上面我们对于函数本身的对称性和不同函数的对称性进行了初步的研究，所以我们在教学的过程中，我们需要引导巧妙的应用函数的对称性的相关结论来进行解题，不仅可以极大地简化计算过程，更能有效的拓展学生们的数学思维.

比如在苏教版高中数学中就有很多应用函数对称性解题的例子：“假设函数y=f(x)，y=g(x)都有反函数，且f(x-1)与g-1(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(5)=2014，求f(4).”对于这类题目，很多学生刚一看可能会感觉毫无头绪，不知要从哪里下手，但是若是能够结合函数的对称性的相关知识进行思考可能学生们就会感到“柳暗花明又一村”了.我们不妨这样想：因为f(x-1)与g-1(x-2)的图象关于y=x对称，所以我们知道f(x-1)与g-1(x-2)互为反函数，再结合反函数的定义和性质我们可知y=g-1(x-2)的反函数是y=2+g(x)，所以2+g(x)=f(x-1)，所以f(4)=f(5-1)= 2+g(5)=2016.在对这道题进行求解的过程中，我们不光应用了函数的对称性，更是结合了反函数的性质，所以说我们在求解不同函数的对称性类型的题目时要注意结合函数自身的特点，这样的话这种类型的题便都可以迎刃而解了.

通过对近几年来的高考中有关对称性的题目的研究我们可以发现，这类题目的灵活性很强，题型往往会比较新颖，大多数学生刚看到题时可能会感到无从下手，但是我们要让学生们要坚信“万变不离其宗”这个道理，只要静下心来利用所学知识仔细应对即可.

[1]陆修群.浅谈抽象函数的对称性[J].高中数学教与学，2011(14).

[2]程海龙.浅谈高中数学教材中函数对称性问题[J].高中生学习，2012(12).

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