注重知识本质，加强生活联系——人教版“数轴”赏析与思考

☉江苏省海门市四甲初级中学　秦　燕



注重知识本质，加强生活联系——人教版“数轴”赏析与思考

☉江苏省海门市四甲初级中学秦燕

笔者有幸认真观看了中国数学会于2015年11月在黄山组织的全国性观摩课视频，对其中一节人教版“数轴”课印象深刻，现从看课角度对该课的思路进行整理，并提出一些个人的想法，与各位同行交流探讨.

一、教学分析与教材分析

数学是一门培养学生思维、发展学生思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”.

“数轴”是人教版数学七年级上册第二章的内容.本节是在引进了负数及分析了有理数的分类后给出的.从知识上讲，数轴是初中数学学习和研究的重要工具，它主要应用于有理数的大小比较，相反数、绝对值概念的理解，有理数运算法则的推导及不等式的求解.同时，也是以后学习二维的平面直角坐标系的基础.从思想方法上讲，数轴是初中数形结合的重要体现，而数形结合是学生理解数学、学好数学的重要思想方法.数轴是直观表示数的一种方法，在数字问题和生活实际中有着广泛应用，掌握好本节内容对今后学习和生活有着积极意义.所以本节课的教学重点是：数轴的概念和画法，并能利用数轴比较有理数的大小.

由于数轴重要的工具性特点及数轴的抽象性，因此，本节课的难点为：数轴的建模过程，以及建立有理数与数轴上的点的对应关系.

根据本课内容特点，本节课主要通过启发引导学生来进行探索，所以尽力给学生营造“可探索”的环境，使学生积极参与，互相讨论，一步步地掌握数轴的概念，并通过练习，使学生更好地理解数轴，从而体会数形结合的思想.同时采用多媒体辅助教学，以多媒体手段为驱动、以问题为载体，给学生创设一个宽松、愉悦的学习氛围，引导学生积极探索、体验成功.

二、教学流程简录

环节（一）创设情境，引入新知

1.复习旧知

提问：上节课，我们学习了一类新的数——负数，这样就可以用正数和负数表示具有相反意义的量，从而数的范围就扩大到有理数范畴.那么有理数如何分类呢？

2.情境引入

【情境一】

图1

以海平面为基准，珠穆朗玛峰高出海平面8844米，吐鲁番盆地低于海平面155米.若记海平面为0米，则珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的高度是多少呢？如何用图形表示呢？

【情境二】

小明从学校门口出发，向东走50米到达书店，向西走300米到达家.如果规定向东为正方向，向西为负方向，则小明从学校出发，书店记作什么？家又记作什么？如何用图表示？

图2

图3

【情境三】

你能读出图3中温度计上的示数吗？（学生很容易读出示数，但要注意刻度的示数左右均有）

仔细观察温度计的构造，有什么特点？（让学生回答，相互补充）

有一个起点或基准点；

有正负两个方向；

刻线都是等距的，每相邻两个刻线之间表示的都是1度.

3.归纳共性

【想一想】

以上三个图有什么共同特征？

学生先独立思考，然后四人一小组讨论归纳，再派代表发言，各组相互补充.

都用一条直线来表示位置、高度或温度；

直线上都有一个起点或基准点（0米，0摄氏度）；

都规定了正负方向；

要准确表示必须有刻度.

环节（二）类比归纳，提炼概念

【问题1】能否也用一条直线来表示有理数呢？

根据三个实例图的分析，让学生抽象出没有实际背景下的正数、负数、0的表示.

直线上要有一个0点；

要规定一个正方向；

还要有刻线，相邻刻线等距且意义相同.

这样的一条直线就是我们今天要学习的数轴.

（教师板书：数轴）

【问题2】到底什么是数轴呢？

一般地，画一条水平的直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），规定直线上向右的方向为正方向，选取某一单位长度，这样的直线就叫做数轴.

实际上，数轴就像是一个横放的温度计.

环节（三）理解概念，辨析概念

【问题1】如何画一条数轴？

根据概念学生自主完成，两位同学板演，最后同桌两人相互检查.

图4

原点（0）：一般居中；

正方向（向右）：右端标箭头；

单位长度：适当，短线，标数.

【问题2】下列哪些是数轴？哪些不是？为什么？

图5

环节（四）应用概念，数形转换

【想一想】建立了数轴，我们就可以用数轴上的点来表示有理数了.如何来表示一个有理数呢？

（1）0在数轴的什么位置？正数呢？负数呢？

（2）整数怎么表示？

（3）分数怎么表示？

（4）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示吗？

整数可以用数轴上的刻度点来表示，正整数在原点右侧，负整数在原点左侧；对于分数，可以先找到与它相邻的两个整数点，再等分成几份，找到相应的位置.

结论：正数在原点的右侧，负数在原点的左侧.每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.

【做一做】

例1画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：

让学生在自己刚画的数轴上继续找各个点的位置.

图6

思考：在数轴上表示一个有理数时，应注意什么？

先画数轴（完整、适当）；

再找位置（定左右、定距离）；

最后描点、标数（实心圆点、上方标记）.

点拨：数→点（形）.

例2如图7，数轴上A、B、C、D各点分别表示什么数？

图7

思考：数轴上的每个点都对应一个有理数吗？有理数能填满整个数轴吗？

数轴上的每个点不一定对应有理数，可能还有无限不循环小数.所以有理数填不满整个数轴.

点拨：点（形）→数.

环节（五）深化概念，比较大小

【议一议】

数轴上的两个点，右边的点表示的数与左边的点表示的数有怎样的大小关系？

可实时引导学生类比温度计上的实际意义来比较数的大小.

图8

结论：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；

正数大于0，0大于负数，正数大于负数.

思考：你能否将例1中的各数用“<”连接呢？

引导学生借助刚才数轴上各点的位置来比大小.

三、设计说明与教学反思

1.学生是课堂的主人

这节课属于概念课，数轴这个概念也是中学数学中数形结合的起点.在这节课中，执教者能紧紧抓住“数轴的概念”这一重点，从实际出发，创设情境，通过对三个具体问题的体验和感知，让学生先形成感性认识，再通过类比归纳，提炼共性，得到本质特征，从而形成数轴的概念；得到概念后，先让学生根据自己对概念的理解画出数轴，借助对学生出现的错误的纠正，更加深了对数轴三要素的认识，调动了学生探究问题的积极性和主动性；在数轴上表示有理数时，先提出几个问题，将正数、负数、0及整数、分数的表示分别思考探究，既渗透了分类讨论的方法，也体现了理论为先的思想，接着让学生动手去表示具体的有理数就成水到渠成的事情了.

本课重视数学概念的产生、发展、形成过程，恰当推迟数学概念得出的时间，让学生体验火热的数学研究过程，最终“数轴”概念的获得水到渠成.教学活动更好地体现了新课程的理念，不仅提高了课堂教学的效果，而且让学生学会了如何学习.整节课结构清晰、环环相扣、层层递进，能关注学生的情感，注重调动学生学习的积极性和主动性，同时体现了数学思想方法的渗透，是一节成功的概念课教学的案例.

2.课堂指向是学生的思维发展

本节课的教学设计是：以启发式教学为主，从教科书中的情境出发，引导学生通过观察、转化、类比、比较、分析等思维活动，把实际问题抽象成用“直线、点、距离等”描述的图形.借助负数概念引入过程中用正数和负数表示“相反意义的量”的经验，来规定在0的左、右两边分别用负数和正数表示，自然引出数轴概念.所以在教学中，为了让学生感受引入数轴的意义，形成数轴的概念，一方面要运用直观生动的形象素材和问题情境，引发学生的探究兴趣；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解并及时地表扬鼓励，充分发挥学生学习的主动性.为了使学生充分理解数轴的三要素，利用自主思考、动手操作、相互检查、图形辨析等环节，充分调动学生的积极性.在理解数轴上的点与有理数的关系时，引导学生首先明确有理数的分类，发现还有一类数——无限不循环小数也应在数轴上，从而建立了点与有理数并非一一对应的关系.

3.数学本质的挖掘应站在生活实践之上

本节课的主要内容是数轴的概念和用数轴上的点表示有理数.数轴是初中数学中的一个核心概念，它是我们研究相反数、绝对值、有理数运算法则等的图形分析工具；借助数轴的直观性表示不仅可以加深对正数、0、负数的认识，而且还可以帮助我们进一步分析、理解相关数学问题；通过对点在数轴上运动的研究，可以推导出有理数的运算法则；利用数轴上表示数的特点来确定有理数的大小和不等式组的解集.数轴作为分析、研究数学问题的工具，不仅揭示了其内在的数形结合思想，而且也为研究数学问题提供了新的方法，为今后建立平面直角坐标系及其运用打下了坚实基础.从总体看，这样的教学活动设计，能让同学们结合学习探究，对数学来源于生活又服务于生活有了更进一步的认识.通过探究活动，让学生亲身体验数学概念的形成过程，既锻炼了学生的抽象概括能力，又感悟了“数形结合的思想”.从教学设计的角度，任课教师将学习任务与教学内容很好地整合在一起，内容的设计一方面放在了学生的“最近发展区”内，是学生熟悉的生活背景；另一方面，该项学习任务又有一定的探究性和挑战性，体现了新课程的理念，一切为了学生的发展.从教学实施的角度，学生成为课堂教学的主体，而教师又体现了主导作用.整节课始终以问题串的形式进行启发教学，层层推进，学生在思考和讨论中不断获得有用的信息.从具体到抽象，在通过类比、归纳来形成概念的同时，还注重对概念内涵的探究及概念的辨析，并在“用数轴上的点直观表示有理数并比较大小”的应用中，使学生体会到了学习数轴的必要性和重要性，感受到“数学来源于生活又服务于生活”的数学应用价值.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大出版社，2012.

2.范良火.义务教育教科书.数学（七年级上册）［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.