借助直观模型，理解“倍”的本质

◎白奇宝

(厦门外国语学校附属小学，福建 厦门 361012)

借助直观模型，理解“倍”的本质

◎白奇宝

(厦门外国语学校附属小学，福建 厦门 361012)

倍是数与代数领域中的概念，它是学生在二年级学习乘除法的基础上进行教学的，倍是一个比较抽象的概念，看不见，摸不着，生活中也接触不多.学生建立和理解倍的概念，需要一个反复、持续的过程.教材先让学生经历从对生活中具体实物数量的比较中抽象出倍的过程，利用“几个几”引出倍的含义后，再从除法的角度加深对倍的概念的理解，让学生体会到倍的本质.倍的概念涉及两个量之间的比较，十分抽象，不易理解，在教学中我们应安排多层次的活动，借助直观模型，让学生通过多次感知，在不断比较和抽象的过程中建立倍的概念，理解倍的本质.

一、善用教材，初步感知倍

利用小兔吃萝卜的童话情境，让学生自主收集三种萝卜的数量，并说说三种萝卜在数量上有什么关系？有的学生说：“红萝卜比胡萝卜多4根，白萝卜比红萝卜多4根.”发现了两种数量之间的相差关系.还有的同学说：“红萝卜的根数是胡萝卜的3倍.”发现了两数之间的倍数关系.请小老师上台介绍，根据3个2根的关系，引出“一个数的几倍”的含义.让学生用规范的三句话：“胡萝卜有2根，红萝卜有3个2根，我们就说红萝卜的根数是胡萝卜的3倍”来表达“倍”的含义，引导学生通过用眼看一看，动手圈一圈、填一填，动口说一说等活动，感知白萝卜与胡萝卜之间的倍数关系，让学生在已有经验“几个几”的基础上初步感知“一个数的几倍”的含义，直观形象，建立了倍的概念.

二、多层变化，辨析比较倍

通过标准量不变，比较量变化的活动，引导学生进一步拓展认识几倍，通过胡萝卜的根数不变，不断增加和减少白萝卜的份数，让多个学生说说：如果白萝卜有几个2根，我们就说白萝卜的根数是胡萝卜的几倍？引导学生认识6倍、7倍、10倍、2倍、50倍、100倍……并通过提问：“你发现什么数学秘密？”同学们自主探究，合作交流，发现了：“白萝卜有几个2根就是胡萝卜的几倍.”引导学生归纳与整理，发现了倍的本质.通过比较量不变，标准量变化的活动.即红萝卜的根数不变、胡萝卜(3根、2根)根数变化的情况下，巧质疑：“为什么你们一会儿说红萝卜是胡萝卜的2倍，一会说红萝卜是胡萝卜的3倍？”引导学生探究倍数发生变化的原因.有的说：“因为胡萝卜的根数发生了变化.”有的说：“6根与2根比，是3倍，而6根与3根比，是2倍.”老师夸同学们善于观察，会动脑思考，发现了比较量不变，比的标准量发生变化，它们的倍数也就发生变化，感受到比的标准的重要性，潜移默化地渗透反比例的思想.让学生在辨析比较中进一步认识倍，发展学生推理和归纳能力.通过提供“错误结构”，让学生辨析明理，现在胡萝卜有3根，白萝卜还是10根，我们还能说：白萝卜的根数是胡萝卜的5倍吗？学生看图，异口同声说：“不行，10里面有3个3，白萝卜的根数应该是胡萝卜的3倍多1根.”明白了它们之间虽然不是整数倍，但是也有倍数关系，将来咱们会学习用小数或分数表示它们之间的倍数关系.变中求不变，层层深入，借助直观模型，在辨析比较中进一步认识了倍.

三、操作质疑，深化认识倍

让学生开动脑筋，改变白萝卜或胡萝卜的根数使它们之间有整数倍的关系.同学们动手操作，发挥了创造力和想象力，在小组汇报时，同学们台前边摆边说，A同学说：“我把白萝卜加2根，现在胡萝卜有3根，白萝卜有4个3根，白萝卜的根数是胡萝卜的4倍.”B同学说：“我把白萝卜减少1根，现在胡萝卜有3根，白萝卜有3个3根，白萝卜的根数是胡萝卜的3倍.”同学们都送给热烈的掌声.C同学说：“我把胡萝卜增加1根，白萝卜减少2根，白萝卜有2个4根，白萝卜的根数是胡萝卜的2倍，同学们我说得对吗？”D同学质疑：“为什么不是1倍呢？”C同学说：“有2份，有2个4，就是2倍.”老师肯定学生的回答，引导学生看图：白萝卜的根数是胡萝卜的2倍，我们也可以说白萝卜的根数比胡萝卜多1倍，有1倍是和胡萝卜同样多的.E同学汇报：“胡萝卜有1根，白萝卜有6个1，白萝卜的根数是胡萝卜的6倍.”F同学说：“我摆的胡萝卜和白萝卜都是3根，白萝卜的根数是胡萝卜的1倍，同学们我说得对吗？”G同学说：“我认为是0倍.”师巧问：两种数量相同，究竟是1倍关系还是0倍关系，引发同学思考，认为1倍关系的同学说：“因为有1个3，就是1倍.”0倍的同学认同1倍关系.老师小结：当标准量和比较量相同时，有两种不同的说法，如果以胡萝卜为标准，我们就说白萝卜的根数是胡萝卜的1倍，如果以白萝卜为标准，我们就说胡萝卜的根数是白萝卜的1倍.老师提供一同学的摆法：上面摆胡萝卜6根，下面摆白萝卜1根，它们之间有什么倍数关系呢？改变排列的顺序，避免学生的思维定式，最后引导学生梳理总结：两个数进行比较，以小数为标准，用圈一圈的方法，看看大数里面包含几个小数，大数就是小数的几倍.最后老师再把直观图形抽象成线段图，体现从直观模型到抽象的过程，丰富学生对倍概念的图形表征的同时，为后面画线段图来表示倍数关系做铺垫.

本节课，借助直观模型，在有趣的“变化中”，让学生经历不断创造倍数关系的主动学习过程，从感性上升到理性来深化对倍的认识，取得较好的学习效果.