分层建构：让“数学理解”真正发生

江苏省南通市通州区二窎小学 葛 军

分层建构：让“数学理解”真正发生

江苏省南通市通州区二窎小学 葛 军

“数学理解”是儿童对数学学习对象的自主建构，对知识本质和联系等的认识。“数学理解”有“工具性理解”、“关系性理解”和“创新性理解”三个层面。数学教学时，教师要运用各种方式，帮助儿童形成“数学理解”，引导儿童的“数学理解”步步深入、拾级而上。

数学教学；工具性理解；关系性理解；创新性理解

在儿童数学学习中，“数学理解”无疑是首要的。英国数学教育家斯根暜认为：“数学理解”有“工具性理解”（怎么做？）、“关系性理解”（为什么这样做？）和“创新性理解”（还可以怎么做？）三个层面。基于此，在儿童数学教学中，教师要搭建平台，促成儿童对数学的“工具性理解”，助推儿童对数学的“关系性理解”，引导儿童形成数学的“创新性理解”。让儿童的“数学理解”步步深入、拾级而上。

一、工具性理解：搭建平台

“工具性理解”是“数学理解”的初级阶段，主要是对数学概念的了解，如“圆的半径是什么？”“怎么通分”“怎么约分”等。“工具性理解”对应于数学的“陈述性问题”，主要解决“是什么？”和“怎么做”等的数学技能和应用问题。

1.用“操作演示”展示知识

“操作演示”是数学理解的“脚手架”，能够帮助儿童直观感知到数学概念、公式的内涵，让学生形成一种“视觉思维”。例如教学《圆锥的体积》，笔者通过让学生演示“用等底等高的圆锥装满水倒入等底等高的圆柱，倒三次”，形成直观的“倒的次数”的印象，让学生获得对“圆锥公式”的理解。如此，学生在计算圆锥体积时，总是想到鲜活的数学演示实验，计算圆锥体积时总是先计算“等底等高”的圆柱的体积，成功规避了儿童计算时容易遗忘“÷3”的特点。

2.用“生活经验”支撑知识

“生活经验”是数学理解的“桥梁”，能够帮助学生解疑释难。例如，教学“乘加和乘减混合运算”，学生对计算顺序时有混淆。为此，笔者教学时让学生多次“以事理说数理”，通过学生生活中的购物经验，诠释说理。如“6×2+3×5”，有学生说买3支圆珠笔，每支5元，再买2支钢笔，每支6元，一共多少元？正是因为有了生活经验的介入，孩子们对抽象的乘加和乘减混合计算的运算顺序的理解有了“抓手”。不仅如此，学生对“乘法是连续加上相同的数”、“除法是连续减去相同的数”的算法本质也有了初步的认知。

3.用“直观图形”分析知识

在学生解决数学问题的过程中，有时需要借助“直观图”（含线段图、示意图等）进行数学分析，让学生正确理解题意。例如教学“1/2+1/4+……1/64”时，有学生从简单情形入手，探索规律；有学生采用“数形结合”的方法，用一个正方形表示“1”，然后平均分成2份，在其中的1份里再平均分成2份，依次类推，并涂上阴影。学生直观看到：要求“1/2+1/4+……1/64”就是求阴影部分的大小，可以用“整个正方形当”减去“空白部分”，也就是“1—1/64”。借助直观图，让学生获得直观思考。

二、关系性理解：内化意义

“关系性理解”是“数学理解”的中级阶段，主要是让学生对每一个数学知识点的诞生历程有着清晰的认知。如果说“工具性理解”是“知其然”，那么“关系性理解”就是“知其所以然”。如“圆周率、圆的面积公式是怎样诞生？”“通分、约分的根据是什么？怎样理解？”等。“关系性理解”对应于数学的“程序性问题”，主要解决“为什么”的问题。

1.展现过程，关注知识本质

每一个数学知识都有其深刻的数学本质，有其深远的源头。关注数学的知识本质就是关注知识内在的形成规律。要注重启发学生，增设孵化、生长儿童数学思维、想象的机会。例如教学《用方向和距离确定位置》，笔者用序列化的教学设计依次展开：①多媒体展示一艘中国海船在南沙岛灯塔（参照物）附近（不能确定准确位置）；②一艘中国海船距离南沙岛灯塔500米处，即以灯塔为中心，500米为半径（距离）的圆上（不能确定准确位置）；③一艘中国海船在南沙岛灯塔北偏东30°方向500米处（准确定位）。至此，学生深刻理解了确定位置的“三要素”和“原理”。

2.集装知识，形成知识结构

单个的知识点只有融入到“知识结构”中才能更加凸显其意义。教学中，唯有对知识点进行“串联”或“并联”，才能让知识融会贯通。例如，教学“比的基本性质”时，笔者首先让学生进行知识回顾：从“商不变的规律”到“小数的性质”，从“小数的性质”再到“分数的基本性质”等。如此催动学生的数学猜想：在比中，有着怎样的性质？比的基本性质应该是怎样的？“比的基本性质”有什么作用？如此，将“比的基本性质”纳入到知识的横向和纵向联系之中，学生获得了意义的全面而深刻的理解。

三、创新性理解：建构创造

“创新性理解”是“数学理解”的高级阶段，主要是学生能够主动地对数学知识进行生发，把握知识的流向。如果说“工具性理解”解决“是什么、怎么样”的问题，“关系性理解”是解决“为什么会这样”的问题，那么“创新性理解”就是解决“应该可以怎么理解”、“还可以怎样”的问题。

1.激活思维，让知识获得自主建构

数学教学要把握知识的生长点、生成点和生发点，引导儿童对数学知识进行“预测”、“猜想”、“验证”，激活学生的数学思维。例如，教学“圆的周长”时，笔者首先让学生猜想：“圆的周长”与什么有关？（半径、直径）；“圆的周长”与半径、直径有着怎样的关系？（3倍多一些、4倍少一些等）；用什么方法验证？（滚圆法、绕圆法等）。在这里，儿童不是被动地接受知识，而是主动地建构知识。

2.启迪创造，让知识获得自然生长

数学理解不仅是一个深入思维的过程，还是一个自主创造的过程。要引导学生突破思维障碍和束缚，主动地对数学知识进行生发、创造。例如教学“用阴影表示长方形面积的1/2”，笔者启迪学生探究，引领学生众筹、众创，得到了许多精致化的方法。①用对角线将长方形平均分；②用中线将长方形平均分；③连接长方形长与对边任意一点构成三角形；④过长方形中心任意画一条直线；⑤长或宽平均分成偶数份；⑥顺次连接长方形长和宽的中点。这些独特的方法彰显着儿童的创造智慧。

数学教学不能停留于“形式化定义”，不能让儿童对数学概念、公式等进行“死记硬背”、“照葫芦画瓢”，而应当运用各种方式促成儿童积极的“数学理解”。只有在“数学理解”的基础上，儿童才能认识数学知识的本质和联系，才能主动地运用数学、灵活地建构数学、自主地创造数学，让我们“为理解而教”！

[1]陈治平.谈促进学生数学“理解”的策略[J].江苏教育（小学教学），2013（11）.

[2]过小伟.感悟智深：追求“真正意义上的理解”[J].江苏教育研究，2016（6B）.

[3]黄红成.在动手实践中实现真正的数学理解[J].教学与管理（小学版），2015（7）.