IGOWC-OWGA算子及其在区间组合预测中的应用

袁宏俊，张　超

（1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030；2.安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601）



IGOWC-OWGA算子及其在区间组合预测中的应用

袁宏俊1，2，张超1

（1.安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽蚌埠233030；2.安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601）

摘 要：针对C-OWGA（continuous ordered weighted geometric averaging）算子只能集结单一区间数据的不足，提出一类连续区间数集结新算子.在C-OWGA基础上引入IGOWA（induced generalized ordered weighted averaging）算子，构造出诱导广义加权的C-OWGA（induced generalized ordered weighted continuous ordered weighted geometric averaging，即IGOWC-OWGA）算子，以向量夹角余弦为相关性准则，构建一个连续区间组合预测新模型.最后经实例验证表明该新方法在提高预测精度方面具有显著效果.

关键词：IGOWC-OWGA算子；向量夹角余弦；连续区间；组合预测

Bates、Granger自1960年代第一次系统地研究组合预测方法，其成果得到了众多相关学者的关注，因此，对组合预测问题的探究愈来愈多.但大多数的研究［1-6］都是以单点值为前提，而对于区间值的情形欠缺考虑.而在客观世界里，往往会有很多模糊的信息，仅仅用简单的一个数值来代表它，不能消除其不确定性.如果用区间数替代确定的数值则显得更加合理，所以从区间数的角度考虑组合预测具有重要的研究价值.

近年来，关于区间数组合预测的成果颇多.文献［7-9］中作者提出的方法针对的是离散区间数据的组合预测，并不适合连续区间数据的预测.Yager于2004年通过一个态度参数将区间值集结成一个实数，构造出连续区间数有序加权平均（continuous ordered weighted averaging，即C-OWA）算子［10］；同年Yager又构造了连续区间数广义有序加权平均（continuous generalized ordered weighted averaging，即C-GOWA）算子［11］.相关算子介绍可参考文献［12-17］.

为了消除C-OWGA算子只能集结单一区间数据的缺点，作者将IGOWA（induced generalized ordered weighted averaging）算子与C-OWGA（continuous ordered weighted geometric averaging）算子［13］予以综合，构造出一种诱导广义有序加权的C-OWGA（induced generalized ordered weighted continuous ordered weighted geometric averaging，即IGOWC-OWGA）算子，同时解释其部分性质.取向量夹角余弦作为相关性指标，建立新型区间型组合预测模型.该算子可用于解决多个连续区间数据集结问题.最后利用实例证实该方法在提高预测精度方面具有显著效果.

1　IGOWC-OWGA算子及其性质

定义1［4］假设为m元函数，若

则称fw为n维有序加权几何平均（ordered weighted geometric averaging，即OWGA）算子［13］.其中：bi是a1，a2，…，am遵循从大到小的原则排列后序号为i的数是与fw相联系的权重向量，且wi∈［0，1］，i＝1，2，…，m ，＝1.

定义2［6］假设〈v1，a1〉，〈v2，a2〉，…，〈vm，am〉为m个二维数组，令

把fw定义为由v1，v2，…，vm生成的m维诱导广义有序加权平均，即IGOWA算子.其中：v1，v2，…，vm分别为a1，a2，…，am的诱导值，称为诱导变量，且v-index（it）是v1，v2，…，vm遵循由大到小的原则排列后序号为i的数的下标；W＝（w1，w2，…，wm）T是IGOWA权重向量，且wi∈［0，1］，i＝1，2，…，m，＝1.

定义3［13］设［a，b］为区间数，称

为连续区间数有序加权几何平均即C-OWGA算子，其中Q（y）：［0，1］→［0，1］为基本的单位区间单调函数，且满足Q（0）＝0，Q（1）＝1.当y1＞y2时，有Q（y1）≥Q（y2）.

定义4［10］给定基本单位区间单调函数Q（y），记θ＝（y）dy为Q（y）的态度参数.

0

由定义4及（3）式可得FQ（［a，b］）＝a1-θbθ.C-OWGA算子只能解决单一区间数据的集结问题，若想集结更多区间数据的信息，还需对其予以扩展.

定义5 假定［ai，bi］是一组区间数，〈v1，［a1，b1］〉，〈v2，［a2，b2］〉，…，〈vm，［am，bm］〉是二维数组，设g：Ω＋m→R＋，且Ω为正的区间数集合.若

称g为诱导广义有序加权平均的C-OWGA（即IGOWC-OWGA）算子.其中：v1，v2，…，vm分别是（a1，b1），（a2，b2），…，（am，bm）的诱导变量，且v-index（i）是v1，v2，…，vm遵循从大到小的原则排列后序号为i的数的下标，W＝（w1，w2，…，wm）T是与g相联系的权重向量且wi∈［0，1］，i＝1，2，…，m，.该算子的特点在于：首先运用C-OWGA算子集结每个区间［ai，bi］全部数据，然后将集结后的全部数据运用IGOWA算子集结.由于篇幅有限，文章仅给出单调性证明过程.

定理1（单调性） 对于任意的i＝1，…，m，若有ai≥，≥i，则

由命题假设可知，ai≥i，bi≥i，得av-index（i）＞v-index（i），bv-index（i）＞v-index（i），又g均关于av-index（i）和bv-index（i）单调递增，故，即

所以命题得证.

定理2（幂等性） 对于任意的i＝1，…，m ，若［ai，bi］＝［a，b］，则

定理3（介值性） 若［ai，bi］（i＝1，2，…，m）是任一区间数组，且0＜ai＜bi，则

定理4（置换不变性） 设π＝（π（1），π（2），…，π（m））是（1，…，m）的任一置换，得到

2　基于向量夹角余弦的IGOWC-OWGA算子的区间组合预测模型

设xt＝［at，bt］，t＝1，2，…，N ，其中0＜at＜bt，则可将xt定义为一区间数，同时xt也可等价表示成x＝［c，r］，t＝1，2，…，N ，其中分别记作区间数xt的中心与半径.假定用于预测的单项方法有m种，且它们都被应用到组合预测当中，设第i种方法在第t时点的单项预测值为it＝itit），同样也可等价成t＝（itit），i＝1，2，…，m，t＝1，2，…，N .wi是第i种单项方法在组合预测中的权重，

定义6 令

其中：i＝1，2，…，m，t＝1，2，…，N ，则称vit为第i单项方法在第t时点的预测精度，vit∈［0，1］.将vit当做预测值（itit）的诱导变量，由此可以根据每一个vit以及与之相对应的it构建m个二维数组，即〈v1t，1t，1t］〉，〈v2t，［2t，2t］〉，…，〈vmt，［mt，mt］〉.根据定义3以及定义5可推出，其中：yt为实际区间值由C-OWGA算子生成的t时刻实际集结值；it是算由子生C-成O W的GA时算刻子组生合成预的测各集个成单值项；方法各（个时，刻，预…测，值的）单是项预种测单集项成方值法；在t组为合由预I G测O中W的C-权O向W G量A，t W＝w1w2wmTm m满足∑wi＝1，显然wi≥0；i＝1，2，…，m，v-index（it）是v1，v2，…，vn遵循由大到小的原则排列后i＝1序号为i的数的下标.

引入向量夹角余弦作为相关性指标，对区间组合预测效率予以评价.

定义7［3］令

将η（Yt，t）称作实际值yt（t＝1，2，…，N）与组合预测值t（t＝1，2，…，N）间的向量夹角余弦，其中：Yt＝（y1，y2，…，yN）T，t＝1，2，…N）T，它们分别是实际值与预测值的向量表示，η（Yt，t）∈［0，1］.当不存在预测误差时，向量Yt与t方向一样且夹角为零.而实际中，肯定存在预测误差，所以希望误差越小越好.若要Yt与t的夹角越小越好，则从角度的余弦值考虑，即Yt与t的夹角余弦值越大越好.

易知η（Yt，t）是所有单项方法权重w1，w2，…，wm的函数，则可等价表示成η（w1，w2，…，wm）.故基于向量夹角余弦及IGOWC-OWGA算子的最优组合预测模型为

使得yt＝该模型可借助LINGO软件进行求解.

3　实例分析

为了验证IGOWC-OWGA算子的区间型组合预测模型是否有效，文章直接采用文献［7］的数据作为参考资料，表1给出了具体数据.

表1　区间实际数据和单项方法预测数据Tab.1 The interval actual data and individual method forecast data

表2给出了由（5）式计算得到的预测精度数据.

表2　预测精度数据Tab.2　The data of prediction accuracy

可以计算出实际区间值由C-OWGA算子所生成的t时刻实际集成值yt.由于yt中的态度参数θ由函数Q（y）决定，为了便于比较，分别取Q1（y）＝y4，Q2（y）＝y5，则

表3给出了由上述两个态度参数计算得到的实际区间集成值.

表3　实际区间集成数据Tab.3　The integrated data of actual interval

根据表2中的诱导变量及式（6）计算IGOWC-OWGA算子生成的组合预测集成值t，为了便于比较，分别取λ1＝5，λ2＝6，λ3＝7这几个参数进行讨论，则共有6种情况，依次予以计算.

①当θ＝1／5时，以λ＝6为例，计算过程如下

②当θ＝1／6时，以λ＝7为例，计算过程如下

将上述表达式与表3中的实际区间数集成值代入到单目标最优模型（12）式中，再运用LINGO15软件求解.

当θ＝1／5时，对应的最优权重向量为

当θ＝1／6时，对应的最优权重向量为

为了证明区间组合预测模型是否有效，可选取MSEP（mean squared error of interval positio）、MSEL（mean squared error of interval length）、MSEI（mean squared error of interval）、MRIE（mean relative interval error）作为评价准则.表4给出了相应的分析结果.

表4　误差指标Tab.4　The error indicators

观察表4易知，基于向量夹角余弦及IGOWC-OWGA算子的区间型组合预测模型的MSEP、MSEI、MRIE都显著小于各单项方法的指标值，虽然MSEL指标不够显著，但并非最大，因此，该区间组合预测新方法至少是非劣性的.综合来看，基于向量夹角余弦及IGOWC-OWGA算子的区间型组合预测模型可以显著提高预测精确度.

4　结束语

为了剔除C-OWGA算子只能集结单一区间数据的缺点，文章综合IGOWA算子与C-OWGA算子，构造出诱导广义有序加权的C-OWGA（IGOWC-OWGA）新型算子.由于该算子可以集结多个区间数据的信息，故可以将其应用于连续区间数的组合预测当中.利用IGOWC-OWGA算子，再结合向量夹角余弦作为相关性指标，构建区间型组合预测新模型，并经过算例验证了其有效性，揭示该方法在提高预测精度方面具有显著成效.但论文考虑的θ和λ情况有限，是否存在某个θ值和λ值使预测效果更加精确还需进一步研究.

参考文献：

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（责任编辑 朱夜明）

IGOWC-OWGA operators and their applications in interval combination forecasting

YUAN Hongjun1，2，ZHANG Chao1
（1.Institute of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu 233030，China；2.School of Mathematical Sciences，Anhui University，Hefei 230601，China）

Abstract：For the shortcoming that C-OWGA operator can only assemble single interval data，this paper proposed a new class of continuous interval data assembled operator.We constructed an IGOWC-OWGA operator by introducing IGOWA operator on the basis of the C-OWGA operator，then we selected vectorial angle cosine as a correlation index and built a new type of continuous interval combination forecasting model.Finally，it is shown that the new method had a significant effect in improving forecasting accuracy by an illustrative example.

Key words：IGOWC-OWGA operator；vectorial angle cosine；continuous interval；combination

doi：10.3969／j.issn.1000-2162.2016.01.003

作者简介：袁宏俊（1978-），男，安徽庐江人，安徽财经大学副教授，安徽大学国内访问学者，硕士生导师.

基金项目：国家社科基金青年基金资助项目（13CTJ006）；安徽财经大学重点科研基金资助项目（ACKY1315ZDB）；安徽财经大学研究生科研创新基金资助项目（CXJJ2014074）

收稿日期：2015-03-02

中图分类号：O224

文献标志码：A

文章编号：1000-2162（2016）01-0011-07