从一节课管窥高中数学教师的MKT

四川师范大学数学与软件科学学院(610068)陈艳 张红

从一节课管窥高中数学教师的MKT

四川师范大学数学与软件科学学院(610068)陈艳 张红

MKT即面向教学的数学知识,它是一种特殊形式的、对教学特别有用的数学知识,由学科数学知识和学科教学知识组成.事实上,考查和理解教师在教学时需要知道什么,是当前数学教师教育研究的一个趋势.而本研究则是把MKT框架应用于“排列与组合的应用”的教学实践中,为排列与组合的应用教学研究提供了一个新的视角,且关注教师面向教学的数学知识.应用视频分析法和访谈法来分析中学数学教师在MKT的各个成分上表现如何?

MKT;排列与组合的应用;视频分析法和访谈法

1.言

数学教师专业发展的目标包括信念、知识、能力等,其中的知识可以用美国数学教育家鲍尔和他的研究团队所提出的MKT理论来刻画.MKT是“面向教学的数学知识”( Mathematical Knowledge for Teaching)的简称,指的是数学教学中所需要的、能用于教学的、有益于教学的数学知识[1−2],它是由学科知识和学科教学知识有机融合而成的,前者包括一般内容知识(CCK)、专门内容知识(SCK)和水平内容知识(HCK);后者包括内容与学生的知识(KCS)、内容与教学的知识(KCT)和内容与课程知识(KCC).

本文从一节高中数学课出发,管窥国内高中数学教师在课堂教学中,具有什么样的MKT,更具体地说,本文旨在通过一节高中数学课透视中学数学教师在MKT的各个成分上表现如何?

2.究方法

本文研究对象为成都市某中学的一名具有12年教龄的女教师L.L教师于2014年讲授的一节高二年级公开课,课题为“排列与组合的应用”.本节课的主要环节如下:

(1)第一个环节是课前练习有关排列与组合的纠错.

(2)第二个环节对排列与组合的公式进行复习巩固;L教师主要强调在记公式时不要单纯的机械记忆,而是要抓住它们之间的联系.

(3)第三个环节讲解新课,即排列与组合的综合应用,是本节课的重点和难点;首先L教师让学生解答下列问题:从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛方法?

研究者先听课,课后对L教师进行了访谈.对整节课进行录像并全部转录成文字,从中分析教师的MKT;再通过对L的访谈进一步印证所确定的MKT.对访谈进行录音,并转录成文字材料.

3.究结果与分析

数学教师的MKT包括6部分内容:内容与课程的知识,水平知识,内容与学生的知识,内容与教学知识,一般内容知识,专门内容知识.下面就从L教师上的“排列与组合的应用”这节课分析其具有的MKT.

3.1 L教师的内容与课程知识

KCC代表内容与课程知识,是指特定主题的知识的源型和演化历程的知识,及其在教科书的概念体系、逻辑结构中的位置、来龙去脉的知识和横向联系的知识.看L教师是如何按排列与组合的发生、发展过程来呈现的.

本节课是选修教材2–3第一章第二节“排列与组合”的第二课时.教师没有直接开始排列与组合综合运用的学习,而是首先通过两道简单的例题,提出排列和组合的概念,以及两者的区别与联系,其教学意图有:(1)让学生体会排列与组合在实际问题解决中的作用,增强他们的数学应用意识; (2)让学生了解排列与组合分别应用于哪种情形,帮助他们构建整体的知识结构;(3)为本节课学习排列与组合的应用打基础.教师发现:在第一二两道题中同学都能做对,而在第三题中,教师发现部分同学出错,在第四题中,同学们能有多种方法解决,其中就是排列与组合的综合运用,于是,排列与组合的综合应用的学习自然发生了.根据知识的发生、发展过程,教师调整了它们在教材中的顺序,以更好地促进学生的数学理解.

3.2 L教师的内容与学生知识

KCS代表内容与学生的知识,指的是学生对具体数学内容的思维方式、学习困难和误解的知识.在教学过程中,教师需要了解学生的学习情况,包括学生的已有认知基础、学习难点、认识误区、学习困惑、学习错误、思维方式和学习态度等.

L教师是采取对话的方式来试图了解学生的学习情况.下面分析L教师是如何开展教学对话并从中来了解学生学习情况的:

(1)教师在教学对话中注重激发学生的思维

师:向一明,你来给大家解释一下,虽然错了,但是我们要一起找原因,你是怎么想的这个式子?

生:4个中取3个.每个至少1个.先保证每所学校都有一位老师,那分走了3个老师,还有第四个,这第四个老师选学校一共有三种.

师:这个理解起来非常好理解,但是你的这个答案比正确答案刚好多了一倍,那请大家思考,为什么恰好多了一倍?这原因在哪里?请大家想想怎样举例子来说明?

生:比如说,甲乙丙丁四个人,取3个去三所学校.

生:假设甲去了第一所.

师:先排甲丙丁,这样乙还是可能到第几所学校去?

生:第一所.

师:大家看一下,这两种情况都在我的算法里面,而对于这道题来说,这两种是算一次,还是算两次呢?

生:一次.

师:所以要把这个式子改对也可以,怎么改呀?其实多一倍,就是这两个人分在同一所学校多算了一次,那我只需要干嘛就完了?

生:除以2.

从以上教学对话中可以看出,所展开的教学对话充分促进了学生的思维参与,学生的学习情况在其思维活动过程中得以显现.教师通过练习了解学生的易错点,教师不是直接告诉错误的原因,而是牵引学生,让学生自己去找到错误的根源,并循序渐进地往正确思路靠近.为了了解学生是否真正的理解学习内容,让学生用具体例子表征,对错误的地方感受更深刻,更能形象直观地理解,并能与实际生活相联系.

(2)教师在教学中能够猜测学生可能的想法,学生可能感到困惑的地方,教师也能够倾听并解释学生出现的不完整不成熟的想法.

生:针对新课的例题,我用的是间接法,就是从6名运动员选4名全排然后它说甲不能跑第一棒,就减去甲跑第一棒的乙不能跑第四棒,就减去乙跑第四棒做完之后发现减去的时候有重复,就又加回来一个式子就是

(3)在选择例子时,教师能够预测哪些例子学生会感兴趣、能激发他们积极参与.L教师在教学设计时考虑学生的差异,解决的策略是:例题设计由浅入深,在变式中寻求思维的升华,让学生体会自我效能感,建立数学学习兴趣感,在新课例题练习时,要求一题多解,让学生体会各种方法.在这过程中L教师尽量让多位学生参与,通过让学生自讲自写,把课堂还给学生,并要求学生解释思路和方法,让他们自己去发现解题的理论基础.

3.3 L教师关于内容与教学的知识

KCT代表内容与教学的知识,是指关于具体数学内容的不同表征在教学中的优缺点,不同例子引入课题的优劣性的知识.

本节课中,L教师采用上节课的练习纠错来回顾排列、组合的概念与公式,以及两者的区别与联系,由浅入深地引出排列与组合的综合应用.对于应用问题,L教师要求学生不仅能列出算式,还能举出现实生活中的例子加以解释,更清晰地呈现解题过程,让学生理解得更深刻.

3.4 L教师的一般内容知识

CCK代表一般内容知识,是指中小学各阶段对所有学生普遍要求的一类数学内容知识,即学生通过中小学数学学习应掌握的知识与技能.

L教师熟悉排列和组合的公式与运算,以及推导过程;熟悉排列和组合之间的联系与区别;掌握常规题型的通解通法,也就是本节课例题的特殊优先原则.

3.5 L教师的专门内容知识

SCK代表专门内容知识,是为了数学教学而必备的更为专门化的一类学科知识.传道授业,不仅要知其然,还要知其所以然.下面将分3类分别讨论L教师的表现.

(1)解释常规的法则、程序的数学意义

排列、组合是计数原理的特殊应用,所以公式的讲解用计数原理,新课完成后,进行习题课时,利用对比教学强化公式,联系:都是从n个不同元素取出m个,区别:—排成一列,有顺序;—组成一组,无顺序.组合公式可以由排列公式推导,所以我们要清楚排列和组合有的时候是可以相互转化的,互相联系起来.

(2)诊断学生所犯错误的本质

学生不理解排列与组合的公式的本质含义,在实际问题解决中容易将两者混为一谈.排列、组合一章的知识相对独立,教材上的例题学习简单,而高考考纲中要求的层次是最高层,所以学生往往觉得这一章很难.

(3)解决非常规问题或应用非常规的解题方法

有学生给出如下解法.特殊的位置处理,我们可以从题干中得出第一棒和第四棒是特殊的位置,因为甲不能跑第一棒,就有5种选择,第一棒如果是另外4个人跑,就直接是4,第一棒是乙跑就是1,再去考虑第四棒,乙没有参加第一棒,那么第四棒除了乙就有4种选择,剩下就是4种和3种,第二类因为乙已经跑了,剩下的5个人都可以跑,所以就是1和5,然后再乘以4乘以3,把两类加起来就是答案.式子: 4×4×4×3+1×5×4×3=252.

对于上述非常规方法,L教师能立即判断该方法是可行的,并没有否定学生的成果,同时把这个方法给面向全班学生重新解释一遍,让大家都能理解,在理解的基础上,要求学生把该方法整理一下,把分类计数用排列与组合符号表示.L教师引导学生一步一步分析,自己得出结论.通过该方法,L教师总结出排列与组合其实就是两类特殊的计数,我们可以把它返璞归真,换成我们的分步计数.让学生对数学学习更规范和严密性.学生有不同解法时,一定会提供机会让学生展示,一方面传递信息:数学就是“思维的体操”,另一方面在不同解法的探究中找到通解通法和优质解法.

4.论与启示

从一节数学课透视高中数学教师的MKT肯定具有一定的片面性和局限性,但折射出的问题可能更具针对性.通过分析,发现L教师在讲授本节知识主要涉及到MKT的五个子类别:CCK、SCK、KCS、KCT、KCC,在HCK上表现得最薄弱,但教师在教学中亦需要用联系的视角看待各数学专题,用数学的眼光从高观点下审视中学数学,这就需要教师具备横纵向内容知识.无疑,横纵向内容知识的缺乏必将对职前教师入职后的教学造成不良影响,如何在职前培训中提高职前教师的HCK,以及HCK的缺乏对入职后的实际教学会产生怎样的影响,值得每位数学教育工作者深思.我们迫切需要基于MKT的教学,研究推动学生思维发展的课堂教学,努力创造适合学生的数学教育,致力于学生的数学学习与发展.

[1]Ball,D.L.,&Bass,H..Towardapractice-basedtheoryofmathematical knowledge for teaching[C].In B.Davis&E.Simmt(Eds.),Proceedings of the 2002 annual meeting of the Canadian Mathematics Education Study Group.2003,3-14

[2]Ball,D.L.,Thames,M.H.,Phelps,G.Content knowledge for teaching: What makes it special?[J].Journal of Teacher Education,2008,59(5) :389-407.

[3]徐章韬.师范生面向教学的数学知识之研究—基于数学发生发展的视角[M].北京:科学出版社,2013.

[4]吴骏等.职前教师数学知识准备现状的调查研究[J].曲靖师范学院报,2011,29(6).

[5]庞雅丽.职前数学教师的MKT现状及发展研究[D].上海:华东师范大学,2011.