下层独立的一主多从双层随机线性规划问题研究

纪斌　童小娇　耿玉苹

摘 要 Herminia I.Calvete等研究了一主多从双层确定性线性规划问题，证明了这类问题等价于一类常规的双层线性规划问题.本文在此基础上，推广确定型的问题到随机型优化情况，考虑了一类下层优化相互独立的一主多从双层随机优化问题（SLBMFP）.在特定的随机变量分布条件下，理论上证明了该类问题可以转化为一主一从双层确定性优化问题.本文的研究对于求解一主多从双层随机优化模型，解决此类模型在实际应用中的问题具有一定的意义.

关键词 双层规划；一主多从；随机优化

中图分类号 O010224 文献标识码 A

1 引 言

双层规划是一种具有双层递阶结构的系统优化问题，其中上下两层优化分别拥有各自的决策变量、目标函数和约束条件，一般来讲，上层决策者（Leader）知晓下层决策者（Follower）的信息，下层根据上层给出的决策信息进行决策，上下两层的策略选择和目标实现根据下层的反应做出符合自身利益的最终决策.双层规划问题具有层次性、独立、冲突性、制约性以及依赖性的特点.

经济学家Von Stackelberg在1952年首次提出了双层规划问题，20世纪60年代，Dantzing和Wolf提出了求解大规模双层线性规划的分解算法.70年代期间，受Stacklberg博弈模型在市场经济研究中的影响，双层规划问题的研究开始受到数学界和应用界的重视.Bracken和McGil在1973年给出了双层规划模型的一般结构，其后Bracken和McGill提出了一类“约束中含有优化问题的数学规划”，即多层规划问题.1977年Candler和Norton在他们的研究报告中首次提出了双层规划和多层规划的概念.Candler等先后提出了双层规划及多层规划的一般数学模型[1].M.Taran和E.Roghanian[2]利用KT条件处理多目标双层规划问题.J.Ma等[3]通过粒子群算法解决了基于顾客流失所建立的一主多从双层规划模型.C. Shi等[4]和E.Ansari等[5]分别用拓展的KT法和K次最好法求解一主多从双层规划模型.在实际应用中，大量决策系统都处于复杂多变的环境，系统参数往往具有不确定性，由此建立的优化模型为不确定型优化问题.此类不确定决策问题的研究具有更广泛的背景和更符合实际的应用价值.Patrikssion和Wynter首次将随机参数引入到多层决策问题中，提出了带有均衡约束的随机规划.刘宝碇系统研究了双层随机规划问题，在文献[6]中，他提出了随机期望值规划模型、随机机会约束规划模型以及随机相关机会规划模型，分别对三种模型定义了Nash均衡解和StackelbergNash均衡解的概念.高金伍和刘宝碇[7]提出了一般的双层随机规划模型，给出了求解模型的Nash均衡解和StackelbergNash均衡解的混合智能算法.

目前，对于双层随机优化问题的研究相对较少，尤其在模型求解方面，其算法主要是利用混合智能算法，求解相对复杂，难度比较高。但双层随机问题在解决实际问题中的应用广泛，于是文章考虑下层具有多个相互独立随从的双层随机线性优化问题（SLBMFP），通过一类特殊的随机变量分布情况，得到了机会约束的显示表达式，首先将原模型转化为一主多从双层确定型规划问题，然后进一步把一主多从双层规划问题转化为一主一从双层规划模型，运用文献[1]类似的方法，理论证明了原模型与最终的模型等价，使得对双层随机规划问题的求解转变为求解双层确定性规划问题，降低求解的复杂度.

2 将SLBMFP转化为

一主多从双层确定型规划问题

下层随从相互独立的一主多从双层随机线性规划模型（stochastic linear bilevel multifollower programming：SLBMFP） （1）为：

4 结 论

文章在文献[1]的基础上，推广确定型的双层优化问题到随机型双层优化问题.研究了下层随从之间相互独立的一主多从双层随机线性规划问题，在特定的随机变量分布情况下证明了这类问题可以被转化成一类常规的双层确定性规划问题，使得对双层随机规划问题的求解转变为求解双层确定性规划问题.由于目前对双层随机模型的研究相对很少，对于它们的求解主要局限于智能算法，相对比较复杂，而针对双层确定性模型的求解，已经有相当的算法，求解起来相对简单容易很多，因此文章的结果对于求解双层随机模型，解决此类模型在实际应用中的问题具有一定的意义.

文章针对的是线性情况的研究，在非线性情况下（如二次情况）是否可以得到类似的结论，或在随机变量满足其他类型的情况下是否有相似的结论，这些是我们继续的研究问题.

参考文献

[1] HI Calvete，CGalé. Linear bilevel multifollower programming with independent followers[J]. J Cllral of Global Optimization， 2007，39（3）：409-417.

[2] M TARAN，E ROGHANIAN. A fuzzymutiobjective multifollower linear bilevel programming problem to supply chain optimization[J].Uncertain Supply Chain Management，2013，1： 193-206.

[3] Y GAO ，G ZHANG， J LU， et al.A bilevel decision model for customer churn analysis[J]. 2013，30（3）：583-599.

[4] C SHI，J LU，G ZHANG.Model and extendde KuhnTucker approach for bilevel multifollower decision making ireferentialuncooperative situation[J].J Global Optimal，2007，38 （4）：597-608.

[5] E ANSARI，H Z REZAI.Solving multiobjective linear bilevel multifollower programming problem[J].Industrial. Mathematics，2011，3（4）：303-316.

[6] 刘宝碇.不确定规划及应用[M].北京，清华大学出版社，2003.

[7] B Liu，K Yao.Uncertain multilevel programming：algorithm and applications[J].Computers&Industrial; Engineering，2014，89：235-240.

[8] 朱慧明，韩玉启.矩阵正态统计分布的一个性质[J].经济数学，2004，21（4）：355-360.