均值方差准则下具有负债的随机微分博弈

杨鹏　王震　孙卫

摘 要 研究了均值方差准则下，具有负债的随机微分博弈.研究目标是：在终值财富的均值等于k的限制下，在市场出现最坏的情况下找到最优的投资策略使终值财富的方差最小.即：基于均值方差随机微分博弈的投资组合选择问题.使用线性-二次控制的理论解决了该问题，获得了最优的投资策略、最优市场策略和有效边界的显示解.并通过对所得结果进行进一步分析，在经济上给出了进一步的解释.通过本文的研究，可以指导金融公司在面临负债和金融市场情况恶劣时，选择恰当的投资策略使自身获得一定的财富而面临的风险最小.

关键词 均值方差准则； 随机微分博弈； 线性二次控制； 负债

中图分类号 F830 ， O225 文献标识码 A

1 引 言

均值方差投资组合选择的目标是，在终值财富的均值给定时使其方差最小.文献[1]第一次用计量数学方法研究了该问题，并给出了求解投资组合策略的理论框架.近年来，由于人们对经济问题的持续关注，均值方差投资组合选择问题已成为数理金融研究的最热点问题.文献[2]研究了动态多个时代的均值方差组合问题.文献[3]在随机LQ的框架下研究了连续时间均值方差组合问题，通过随机LQ得到了最优策略和有效边界.文献[4]研究了马尔柯夫调制市场上具有资产负债的均值方差组合问题，获得了最优策略和有效边界.

在研究中，发现已有文献对均值方差问题的研究，大多只从投资者的角度出发，获得最优投资组合，而没有考虑市场不确定性对投资者的影响.在实际中，投资者肯定会受到市场不确定性因素的影响，因此从投资者和市场2个角度同时考虑才更符合实际.这就是随机微分博弈问题.随机微分博弈属于博弈论的范畴.博弈论虽然古已有之，但文献[5]的发表才标志着随机微分博弈时代的真正到来.随机微分博弈，假设市场是博弈的“虚拟”对手，通过投资者和市场之间的双重博弈得到最优的投资组合.它如今已成为数理金融学、管理学科的研究热点.文献[6]在跳-扩散金融市场中，利用随机微分博弈论研究了风险最小化的投资组合策略问题.文献[7]利用随机微分博弈论研究了Markov调制模型下的期权估值问题.文献[8]研究了两个具有相关但不同投资机会的投资者之间基于随机微分博弈的最优投资问题.文献[9]在幂效用和指数效用下研究了具有负债的随机微分博弈.文献[10]在幂效用和指数效用下研究了基于再保险和投资的随机微分博弈.

已往文献对随机微分博弈的研究大多数都是基于效用的，很少研究基于均值方差准则的随机微分博弈.基于已往文献对均值方差问题和随机微分博弈的研究，本文尝试把这2个问题结合起来研究.另外，目前资产负债管理已经受到理论界和许多金融机构的重视，有越来越多的学者对其进行研究，这里不再一一列举.因此本文在文献[9]基础上研究了基于均值方差随机微分博弈的资产负债管理.目标是当终值财富的均值一定时，在市场最坏的情况下，投资者选择一个最优的投资策略最小化终值财富的方差.应用线性二次控制理论求得了最优投资策略、最优市场策略和有效边界，并分析了负债对它们的影响.本文的创新点是：在资产负债管理中引入了均值方差随机微分博弈.通过本文的研究在实践上可以指导投资者在具有负债和市场出现最坏情况下，选择恰当的投资策略使自身获得一定的财富而面临的风险最小；同时在理论上丰富和发展了资产负债管理和随机微分博弈.

2 模型设定

2.1 金融市场

参考文献

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[10]杨鹏.基于再保险和投资的随机微分博弈[J].数学杂志，2014， 34（4） ： 779-786.

[11]杨鹏，林祥.具有随机利率、随机变差的最优投资和联合比例超额损失再保[J].经济数学，2012， 29（1）： 42-46.endprint