阿基米德折弦定理的补证与三角学意义

■浙江省宁波市北仑明港中学　甘大旺



阿基米德折弦定理的补证与三角学意义

■浙江省宁波市北仑明港中学甘大旺

在关于古希腊数学发现与进展的浩瀚史料中，记载着平面几何的一个有趣结论——阿基米德折弦定理.

定理若圆O的两弦AB与BC构成一条折弦，其中AB≥BC，A（BC的中点是D，作DE⊥AB于E，如图1，则垂足E是折弦ABC的中点.

图1

图2

笔者只看到此定理的证明思路，但没有看到证明过程，有必要补遗之.

证明：如图2，延长AB至F使E是线段AF的中点，连接AD，FD，CD，CF.由于DE⊥AB，则Rt△DEA≌Rt△DEF，则AD=FD，∠EAD=∠EFD，∠BCD=∠BAD=∠EAD= ∠EFD=∠BFD，又AD=DC，故DC=DF，则∠DCF=∠DFC，∠BCF=∠BFC，故BF=BC，则EA=EF=EB+BF=EB+BC.

所以，垂足E是折弦ABC的中点.（证毕）.

此定理后来被阿拉伯学者归结到古希腊数学家、力学家阿基米德（Archimedes，公元前287~212）的名下，称之为阿基米德折弦定理.

在阿基米德所处的年代，三角学只处于萌芽状态，还没有形成框架，“不知道阿基米德是否在这个定理中看出了任何三角学的意义”.为了焕发阿基米德折弦定理的三角学色彩，发挥沉睡史料在课程建设中的借鉴作用，下面推导三角变换的一个根基公式.

例当α、β都为锐角时，运用阿基米德折弦定理证明公式：sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ.

证法1：不妨设0°＜β≤α＜90°.如图3，先作单位圆O的内接△ACD使得∠ACD=α，∠CAD=β，则∠AOD=2α，∠COD=2β.

图3

在单位圆O上取点B使∠BOD=∠AOD=2α，且圆O上四点A、B、C、D逆时针放置，那么∠BOC=2α－2β.作DE⊥AC于E，则运用阿基米德折弦定理，得BC+CE=EA.（※）

运用等腰三角形性质、正弦定义、余弦定义得到BC=2sin（α－β），CE=CDcosα=2sinβcosα，EA=ADcosβ= 2sinαcosβ.代入（※）式、除以2、移项得到sin（α－β）= sinαcosβ－cosαsinβ.

证法2：0°＜β≤α＜90°.如图4，先作单位圆O的内接△ACD使得∠ODC=α，∠ODA=β，则2∠CAD=∠COD=180°－2α，2∠ACD=∠AOD=180°－2β.

图4

在单位圆O上取点B使∠BOD=∠AOD=2π－2α，且圆O上四点A、B、C、D顺时针放置，那么∠BOC=∠AOD－∠COD=（2π－2β）－（2π－2α）=2α－2β.

作DE⊥AC于E，则运用阿基米德折弦定理得，BC+ CE=EA.（※）

运用等腰三角形性质、正弦定义、余弦定义、诱导公式得到BC=2sin（α－β），

CE=CDcos（90°－β）=2cosαsinβ，

EA=ADcos（90°－2α）=2cosβsinα.

代入（※）式、除以2、移项得到sin（α－β）=sinαcosβcosαsinβ.

补注：①对于α、β不都为锐角的情形，运用诱导公式可以化归到上述情形，有时用到特值检验；②读者翻新绘制示意图，可以尝试着运用阿基米德折弦定理证明此公式或其他三角函数变换式.

因为以sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ为源头，也能够逐次推导出其他的和差公式、倍角公式、半角公式、和差化积、积化和差、万能公式等三角函数恒等变换公式，所以阿基米德折弦定理具有三角学的意义.

参考文献：

1.［美］卡尔·B．博耶，著.［美］尤塔·C.梅兹巴赫，修订.数学史［M］.秦传安，译.北京：中国编译出版社，2013.