一题多解寻求多种解题方法

■江西省萍乡市湘东中学　池　旭



一题多解寻求多种解题方法

■江西省萍乡市湘东中学池旭

大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考中必考数学，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥.而一题多解有助于培养学生的发散思维能力，脱离枯燥，使学生在解题中回忆、联系所学内容，同时巩固新学的知识；有助于锻炼学生的基本技能，同时抑制教学的模型化，促进学生发展自动化；还有助于学生形成良好的科学素质.本文通过对一题多解的例题剖析，指出了学生应用一题多解的妙处.现从下面二个案例中略谈一题多解，以抛砖引玉.

案例一（中学代数中的一题多解）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________.

这是一道很值得深入探究的高考题，笔者在某次课堂上讲解后，总觉得意犹未尽，故行之成文.

解法1：设2x+y=t，则y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1，得4x2+ （t-2x）2+x（t-2x）=1，即6x2-3tx+t2-1=0，故Δ=9t2-24（t2-1）≥0，

∴t2≤，故，故2x+y的最大值是，当且仅当时取得最大值.

评注：本解法先将所求变量整体换元，然后代入已知条件消元，利用判别式法构造不等式，最终使问题解决，按照这个思路，也可以采用下面的解法.

解法2：设2x+y=t，则（2x+y）2=t2=t2（4x2+y2+xy），

∴（4t2-4）x2+（t2-4）xy+（t2-1）y2=0.

则15t4-24t2≤0，即.故即2x+y的最大值是此时时，等号成立.

评注：本解法与解法1有类似之处，不同之处是巧用“1”和独特的消元，构造出了含参一元二次方程，再利用判别式法构造不等式，最终使问题得到解决.

解法3：先对所求变量平方得（2x+y）2=4x2+y2+4xy=1+ 3xy，而4x2+y2≥4xy且1=4x2+y2+xy，得

评注：本解法也有解法1类似之处，不同之处是通过观察已知与结果的特征，采用平方法，再利用重要不等式构造不等式，最终也使问题得到解决.

解法4：由4x2+y2+xy=1，得

评注：通过观察式子结构特征，利用三角换元也是数学解题中一种常见方法，按照这个思路又可以采用以下的解法.

解法5：由4x2+y2+xy=1，得

评注：本解法与解法4有异曲同工之妙，也是通过观察结构特征，利用柯西不等式，体现了数学思维的灵活性.

解法6：根据题设结构猜测：y=2x时，2x+y取得最大值.

由于4x2+y2+xy=1，

评注：根据由特殊到一般的数学思想，大胆猜测，然后证明正确性，这是数学研究的基本方法之一，它对培养探究意识、创新精神有着重要的作用.

数学是思维的体操，数学教学的任务之一就是培养学生的思维品质.那么如何在数学教学中提高学生的思维品质？数学家奥加涅相说过：“必须重视，很多习题潜在着进一步扩展其数学功能和教育功能的可行性.”笔者认为高考题凝聚了许多专家学者的心血和经验，故对高考题的探究，进行一题多解是培养学生数学思维重要途径.

案例二（中学几何中的一题多解）已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率.求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.

本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识.下面就该题的解法进行探究，并对命题背景及启示有个新的认识.

2.1.试题解法

解法1：如图1，易知直线AF1和 AF2的方程分别为设∠F1AF2的角平分线交F1F2于B（x0， 0）且x0＞-2，得得由两点得直线方程为：y=2x-1.

图1

评注：运用角平分线上的点到角的两边距离相等及点到直线的距离公式，解方程求得点坐标后，两点确定角平分线所在直线方程.

解法2：设P（x，y）是所求直线上任意一点，直线AF1的方程，直线AF2的方程：x=2，则2-x，得x+2y-8=0（舍）或2x-y-1=0.

故2x-y-1=0即为所求直线方程.

评注：通过设所求直线上任意一点，巧用方程的思想，简化计算.巧妙运用“算两次”的技巧，对三角形面积计算两次，并在计算过程中运用角平分线性质对高进行转化.

解法3：如图2，设F1关于角平分线的对称点为P，则P必在直线AF2上，|AP|=|AF1|=2a-|AF2|=5.结合直角三角形AF1F2易得P（2，-2），故，故所求角平分线的斜率k=2.（下略）

图2

解法4：如图3，以AF1为直径且过点F2的圆的方程为x2+记圆与y轴负半轴交于点Q（0，-1）.由|F1Q|= |F2Q|，得∠F1AQ=∠F2AQ，即AQ为所求角平分线.（下略）

图3

评注：解法2，3，4分别构造点与圆来寻找等量关系.

图4

评注：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.

解法6：如图5，易得Rt△AF1F2内切圆圆心为I（1，1）.由内切圆圆心的特征，得直线AI是∠F1AF2的角平线，且斜率k=2.（下略）

图5

题贵在一题多解，感兴趣的读者不妨从两直线夹角公式等角度试试看.以上各种解法都在追求精简，当然并不是每道题都能一题多解，那么这道题在我们平时教学中也可以这样进行一题多变.

2.2试题演变

将该试题的题设及结论进行变换可得如下变式（其解答过程可仿上述解法，留给读者完成，这里不再赘述）：

变式1已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=_________.

变式2椭圆E以坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，焦距为4，并且椭圆上有一点A，∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为：y=2x－1，求椭圆E的方程.

在解题教学中进行一题多解，教师首先应明确其目的之所在，不要盲目地追求一题多解，尤其应防止纯粹为追求一题多解的“作秀”味，为体现另一种解法的巧妙而故先设置一种繁解，这样不仅不利于学生的学习反而会使他们的数学信心受到打击.此外教师在进行解题教学时首先应注意常规解法的讲授，做好正常的双基教学，让学生却是掌握一种基本的方法以后再发散他们的思维适当引导他们寻求其他巧解、秒解等，但不应由教师将所有解法一一向学生介绍，这样反而导致多而乱让学生感到不知所措.在实际的教学过程中进行这种训练，让学生在比较讨论争论中找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路而有利于加深学生对多种解题方法的认识，真正培养学生对多种解题方法的认识，真正培养学生的数学学习能力，促进学生的数学学习.