“问题串”教学模式的实践与思考——基于“正切函数的图像及性质”的案例研究

■江苏省溧水高级中学　李宽珍



“问题串”教学模式的实践与思考——基于“正切函数的图像及性质”的案例研究

■江苏省溧水高级中学李宽珍

一、背景

问题是学生思维的中心，是数学的心脏.有效的问题设计是数学教学的难点之一，有效“问题串”的设计与运用，可以激发学生的求知欲望，启发学生的思维，引导学生在合理的“思”、“想”过程中发现、探索、研究，感受概念形成过程中的归纳、抽象、概括等自我感悟、合作交流的建构过程，从而提高数学课堂教学的有效性.以教学内容设计问题为载体的“问题串”教学法，充分体现以学生为主体、教师为主导的教学理念.

前段时间，笔者开设了一节区级公开课，本节课通过一系列的问题串，采用教师点拨启发，引导归纳总结的教学方式，学生在自己设计的问题串中，主动观察、积极思考、自主探究、同伴互助、合作交流，从而提升学生的数学素养.下面笔者整理出本节课的教学设计，欢迎指正.

二、教材分析

正切函数的图像与性质是在研究了正弦函数、余弦函数的图像与性质之后，研究的另一个三角函数.学生完全可以应用对比、类比的研究方法将已有经验迁移到对正切函数的性质和图像的研究中去，同时，学生已经掌握了正切函数的定义、单位圆中正切线和与正切有关的诱导公式等知识，这也为本节课的学习提供了知识的保障.在此基础上，进一步研究其性质与图像，体会研究函数的一般方法，为解析几何中直线的斜率与倾斜角的关系等后续内容的学习作好知识的铺垫，本节内容具有承前启后的作用.

三、教学流程

环节一——回顾知识，类比引入

问题1我们是怎样作出正弦函数的图像的？

生1：通过单位圆，画出正弦线，将正弦线平移到相应的坐标系中得到.

问题2你能简单说出作正弦函数图像的过程吗？

生2：先作出［0，2π］上的图像，再平移得到整个定义域上的图像.大致可用等分角，作正弦线，平移，连线，再根据周期平移［0，2π］上的图像.

问题3为何先作这个区间上的图像？

生3：由于正弦函数周期是2π，而且在这个区间上图像是连续的，选取靠近坐标轴的部分，便于研究其性质.

设计意图：通过这一组问题串，回顾刚学过的正弦函数的图像的作图过程，为作正切函数的图像作好铺垫.由于受认知能力的影响，正切函数与正弦函数的差异，如作图区间的选择等学生理解运用有一定困难，让学生带着悬念、带着认知冲突学习新的知识，这样有利于激发学生的学习欲望.问题3不仅复习巩固已学的知识，也为后面突破作正切函数图像的难点——为何选取埋下伏笔，让学生养成达到运用类比，由此及彼的思维习惯，培养学生思维的严谨性.

环节二——动手操作，作出图像

师：类比正弦函数图像的作法，你能作出正切函数的图像吗？

问题1你觉得作出正切函数的图像要分几步完成？

生4：类比正弦函数，可以分两步完成：先作出一个周期上的图像，再利用周期性平移.

问题2与正弦函数相比哪些地方需要修改？

生5：由于周期不同，所以区间应改为［0，π］.

师：我们来运用几何画板作出［0，π］上的图像看看.（教师用几何画板直接作出图像）

设计意图：此处学生回答这个区间也是意料之中，让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化.教学中笔者先采用几何画板直接作出此区间上的图像，一是节省时间，二是便于学生观察图像，总结确定最终研究图像选择的区间，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果.

问题3大家观察此区间上的图像，与正弦函数图像相比，有什么不妥的地方？为何会出现这样的图像？（引导学生通过正切线在这两个区间里的变化分析）

生（七嘴八舌）：这段区间上图像不连续！写单调区间时也要分开写，不方便！不便于研究性质！

师：那怎样修改比较好？

（学生陷入沉思，教师引导学生观察整个周期上图像）

师：我们利用正切函数的周期性将其图像平移，看看整个定义域上的图像.

（教师用几何画板作出整个定义域上的图像）

生（众）：（大家一片赞叹声）哇！好美！

生6：（禁不住说出一句诗）退一步海阔天空，进一步万丈深渊！

大家一片掌声！教室里一片欢腾！

师：不错啊！会借助数学图像吟诗了嘛！这就是我们数学美的所在！以后大家只要有心，会发现数学美无处不在！那生6你来说说怎么改比较合理？

学生利用正切线画正切函数y=tanx的图像.

（做完后利用电子白板投影学生作品，分析讲解作图时的注意点）

设计意图：借助几何画板强大的作图功能，使学生能更方便地观察函数图像的形状、位置的变化，达到突破难点与提高学习效率的目的.本课难点是为何先选取区间研究正切函数的图像.学生已明确了正切函数的最小正周期是π，原则上我们可以任意选择一个长度为π的区间作为一个基本周期区间，在此区间内完成对正切函数单调性的认识.从学生认知角度，这个基本周期区间很自然地取教学中顺应学生的思维，再引导学生观察、对比.由于正弦函数图像呈现给学生的印象是一条连续不断的曲线，显然与此处的断续图像不协调.再通过观察整个定义域上的图像，自然可以将这两个区间优化为一个区间，就自然得到了的区间，这样的分析有助于学生厘清知识发生的本源，了解知识的来龙去脉.

环节三——合作交流，探究性质

问题1结合正切函数的图像，你能总结出其性质吗？

分以下几个步骤完成：

（1）根据正切函数的图像，小组内讨论从哪些方面研究性质？

（2）各小组派代表分享自己小组的成果.

（3）师生共同梳理小组发现的正切函数的性质.

（4）学生独立完成下列表格.

y=tanx定义域值域周期奇偶性单调性对称性

设计意图：通过独立思考，小组讨论得出性质，能加深学生对正切函数图像的理解.学生在学习三角函数、诱导公式时，已经知晓部分正切函数的性质，如定义域、奇偶性等.现在通过正切函数图像再进一步理解性质的本质，更加深刻理解选取区间体现图像在研究性质中的价值.在性质探究教学过程中，坚持以学生为主体，学生思维为主线，体现了学生学习的主体性，有利于学生养成自主、合作、探究的学习习惯.

问题2你能从正切函数图像出发，讨论它的性质吗？

学生结合图像，直观检验正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性.

设计意图：此处为何再次讨论性质？作图之前不是利用已有知识，对正切函数的性质做过研究了吗？很显然这里不是对前面性质的简单重复，应该是完善性质、升华认识.利用正切函数图像，重点完善单调性：将单调区间整合优化为进而得出正切函数在定义域内的单调区间为利用正切函数图像，拓展正切函数的对称性：正切函数图像没有对称轴，但有对称中心，对称中心坐标为Z，通过本环节，数形结合思想得到无形的渗透.

环节四——例题精讲，夯实双基

师：利用刚学的图像与性质完成下面各题吧！

例1观察正切函数的图像，完成下列各题：

（1）分别写出满足下列条件的x的集合：

①tanx=0____________；②tanx＞0____________；

③tanx=-1____________；④tanx≥-1____________.

师：能具体说明怎么解决吗？根据函数的什么性质？这组结果有什么特点？

设计意图：对正切函数图像的正反辨析，加深对正切函数周期性的理解，生生补充，及时评价，给予鼓励.

设计意图：学生在经历独立思考、合作探究后，讲解结合图像如何解决，让学生总结归纳出解决比较两个正切函数值大小的方法，不仅进一步加深对正切函数图像的理解，更是培养学生数形结合的能力.

设计意图：教师适时、适当地予以引导学生观察正切函数图像在一定定义域内的图像，培养学生分析问题和提取信息的能力．

问题：通过这三个小题，你能否总结解决这类问题关键要做什么？

生：抓住正切函数图像.

设计意图：通过一组题，强化以图解题的方法，渗透数形结合的思想.引导学生养成“观察、分析、比较、归纳、概括”的习惯，培养学生抽象思维的能力，同时也培养了学生的创新意识．

师：刚才例1解决得不错，下面看看例2，你能解决吗？

设计意图：整体思想是三角学习以及高中数学教学的一种重要思想，这里利用正切函数图像加强理解，渗透思想，引发学生的思考，激发学习动机与探究欲望.

环节五——师生交流，总结升华

问题你能否从知识和思想方法上谈谈本节课的收获？

（学生总结，教师完善补充）

从知识层面看：（1）正切函数图像的几何作图法.

（2）利用正切函数的图像得到正切函数的相关性质.

（3）利用正切函数的有关性质解决有关问题.

从思想层面看：解决问题的方法运用了类比、整体的思想方法.

设计意图：培养学生及时复习和善于总结、归纳、反思的习惯.

四、评价与反思

本课例教学，以教师引导下的“问题串”为载体，从类比入手，设计贴近学生“最近发展区”的问题为支点，引导学生展开了对正切函数图像作法的研究，学生在问题串中，注重引导学生对学习方法的总结，不断渗透数学思想的学习，从而深化学生的数学思维，提升学生的思维能力.

1.问题串教学

问题是数学思维活动的载体，而课堂的重要构成因素就是问题.孤立的问题对思维发展几乎没有什么作用，只有让问题以问题串的形式出现，在问题串的引领下，让学生进行系统的，连续的思维活动，学生的思维才能不断攀升到新的高度.所以问题串不是几个问题简单的组合，而是指在一定的学习范围和主题之内，按学情、教学目标、对一节课的教学内容或主题设计一组具有较强逻辑关联的问题.问题串的教学是一种符合当前新课程改革要求的教学模式，在问题串教学模式下，教师将一组问题有效串联，从而解决教学目标.

本节课教法上采用“问题串”教学模式，围绕正切函数的图像与性质这一核心问题，设计了有逻辑关联、有层次梯度的问题串，作为数学活动的出发点.通过问题串的形式引导学生自主建立正切函数作图的步骤.引导学生带着问题（任务）进行积极的自主学习，由表及里，由浅入深地自我建构知识，有效的突破难点.

2.基于“问题串”的教学模式的反思

（1）问题忌简单化，体现针对性和启发性

课堂教学中倡导的学习方式是自主、合作、探究，倡导的教学方式是启发、讨论、参与，但是实际教学中，不少教师为了问题而问题，不能有针对性的设计问题，将学生的注意力集中到某一个点.因此要设计问题要注重由浅入深，层层递进，并能循序渐进的引导学生思考问题，逐步提高学生解决问题的能力.

例如，案例中环节一中的三个问题就是为了更好的渗透类比的思想，从作图的步骤，到两者的不同辨别，最后针对难点的突破，三个问题层层深入，让学生很好地将正弦图像中的思想类比到正切函数中，使学生的思维一直处在自我否定、自我完善的过程.思维永远是始于问题，因此好的问题就能启发学生思考，挖掘学生的内在潜能，激发学生学习的兴趣.因此清晰了解学生现有的知识水平，注重学生的“最近发展区”，有启发性地设置问题，就能诱导学生进行思考，调动学生学习的兴趣和欲望.

（2）问题忌形式化，注重突破重、难点

在“问题串”教学模式研究实践中，不少教师只注重问题的多少，而不注重问题的质量.设置问题的目的是为了突出重点，突破难点，提高“问题串”教学模式的功效.因此，在疑难处、重点处设置问题，能有效培养学生解决问题的能力.

例如，案例中的难点就是为何选取作为作图并研究的区间，通过设置三个问题，学生由类比正弦定理得到一定的结论，进而发现不同，引发相应的思考，进而优化区间，研究性质.这样通过问题串的引入，顺应学生的思维，逐步让学生自己接受这个结果，而不是强加给他.

总之，教材作为数学家的智慧结晶，以学术的形态呈现出来，展现在我们面前的是冰冷的美丽，作为一线教师必须运用自己的教育智慧和火热思考，将冰冷的学术结论转化为动态的数学教育.而“问题串”教学无疑是一种有效的方式，将教材的内容活泼的展示在学生面前，易于学生接受，从而提高学生的积极性和学习兴趣，最大限度地发挥教学效果.