例谈双参数问题解决策略

■浙江省奉化市第二中学　董　义



例谈双参数问题解决策略

■浙江省奉化市第二中学董义

含参数的数学问题一直是高考中的重点和难点，其中有不少试题含有双参数，对于这些问题，很多同学望而生畏，骑虎难下，深感困难重重，难以决策.然而，对于此类题目，并非无规可寻.下面笔者结合平时的教学实践谈谈处理双参数问题的解决办法，不当之处，欢迎批评指正.

一、活用基本不等式解决双参数问题

均值不等式所反映的是两个参数和、平方和与积两两之间的不等关系，当问题的目标是有关两个参数和与积的形式，而条件命题又可以转化为关于这两个参数的和积问题时，我们就可以尝试使用基本不等式求解.

例1设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切，求m+n的取值范围.

分析：从题设条件来看，已知直线方程含有双参数m、n，另外直线与圆相切，从而我们可以利用直线与圆相切的充要条件得到两参数m、n之间的等量关系d=化简得mn=m+n+1，为此，我们可以找到m与n之间的关系，利用基本不等式进行求解.

解：由直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）2+（y-1）2=1相切，知圆心（1，1）到直线的距离为=1，化简得mn=m+n+1.（*）

根据化简后式子的结构特征，充分利用基本不等式求得所求范围，这其中要注意变量的范围.

二、通过转化成一个参数解决双参数问题

不少含双参数问题的题目中，经常可以通过转化为一个参数问题来解决，这样无疑开阔了解题思路，发散了解题思维.

例2已知ex-（a+1）x-b≥0，求（a+1）b的最大值.

解析：令f（x）=ex-（a+1）x-b，则f（x）≥0恒成立，只需f（x）min≥0即可.

又f′（x）=ex-（a+1），

①若a+1＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，当x→-∞时，f（x）→-∞与f（x）≥0矛盾，不符题意；

②若a+1=0时，则（a+1）b=0；

③若a+1＞0时，由f′（x）=0得x=ln（a+1），

当x＜ln（a+1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln（a+ 1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；故f（x）min=f（ln（a+1））=a+1-（a+1）ln（a+1）-b.

由f（x）min≥0得b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1），所以（a+ 1）b≤（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）.

设F（a）=（a+1）2-（a+1）2ln（a+1），则F′（a）=（a+1）（1-2ln（a+1））.

此时处理F（a）=（a+1）2-（a+1）2ln（a+1）亦可采取换元法：

令t=a+1＞0，g（t）=t2-t2lnt，则g′（t）=t（1-2lnt）.由g′（t）= 0，得

本题含有的两个参数蕴含在不等式中，采用直接的恒等变形行不通，解法中体现了自然的思路，顺势推导，根据导数取零找分界点或按照导数符号寻分类标准，配以结论实行恒等变形，转化成单参数构造函数求解，突出辩证思维，化归双参数为单参数，必须具备扎实的知识变通能力.

三、巧用线性规划解决双参数问题

线性规划是专门用来解决线性约束条件下求线性（或具有几何意义的非线性）目标函数的范围或最值问题.对于一些含双参数的数学问题，若目标式关于参数线性（或具有几何意义的非线性）时，我们就可以考虑用线性规划的知识求解.

例3已知函数f（x）=4ax3-2bx-a+b（a＞0，b∈R），若-1≤f（x）≤1对x∈［0，1］恒成立，求a+b的取值范围.

（1）当b≤0时，f′（x）=12ax2-2b≥0在［0，1］上恒成立，f（x）单调递增.

由（1）、（2）得，当x∈［0，1］时，f（x）max=max{f（0），f（1）}=

（3）当b≤2a时，f（x）+f（x）max=（4ax3-2bx-a+b）+（3ab）=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a（2x3-2x+1）.

（4）当b＞2a时，f（x）+f（x）max=（4ax3-2bx-a+b）+（ba）=4ax3+2b（1-x）-2a＞4ax3+4a（1-x）-2a=2a（2x3-2x+ 1）.令g（x）=2x3-2x+1（0≤x≤1），则g′（x）=6x2-2=当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增.

即g（x）＞0.

由（3）、（4）得，f（x）+f（x）max≥0，即f（x）≥-f（x）max≥-1符合题意，∀x∈［0，1］，则f（x）max≤1.

利用线性规划知识，其可行域为三角形区域，注意边界的虚实，目标函数为z=a+b.当目标函数z=a+b分别过P（1，2）、Q（0，-1）时，有zmax=3、zmin=-1，故所求z=a+b的取值范围为（-1，3］.

本题含有的两个参数相互关联、制约，不能以静态观点研究，在没任何预见性的情况下，采取“保守”的稳妥策略，看导数符号来找分类的临界点，进行第一层分类，也是实现单调性的分类之法，继之分别研究函数最值又产生新的分类分界点，进行第二层分类，正是关联双参数的整体结构分类，其中不等式联立形成约束条件，活用线性规划背景中的目标函数探寻结论，最后不能忘分类的整体性.

四、活用不等式性质解决双参数问题

不等式具有很多基本的性质，关于不等式的变形与转化都离不开它的性质.在有关以不等式为背景条件或可以转化为不等式为背景条件的有关数学问题中，我们不妨利用不等式的性质来尝试求解问题.

（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；

解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略.

五、巧用不等式恒成立的解决方法化解双参数问题

含双参数问题中，有时可以转化为不等式的恒成立问题，进而可以运用其几何意义，转化为两图像的相交、相切问题，结合图像易于求解.

例5已知函数f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x2+2.

（Ⅰ）求f（x）的解析式及递减区间；

（Ⅱ）若f（x）≤x2+ax+b，求的最小值.

分析：本题背景是以e为底的对数函数与二次函数的和，已知不等式小于等于二次函数恒成立，求最小值的问题.主要考查导数应用、函数单调性，以及由不等式恒成立求含有双参数式子的最值等问题.第（Ⅰ）问可通过赋值求导求出待定系数的值，进而求出解析式，再用导数求出单调区间.第（Ⅱ）问可以通过分离函数，将不等式恒成立问题转化为动直线与定曲线的位置关系问题，最后运用几何意义求出最值.

解：（Ⅰ）由f（x）=ln（x+1）-f（0）x-f′（0）x2+2，得f（0）= 2，求导得，所以f′（0）=1-f（0） =-1，故f（x）的解析式为f（x）=ln（x+1）+x2-2x+2.可求得递减区间为（过程略）

（Ⅱ）因为f（x）≤x2+ax+b，由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+x2-2x+2，代入整理分离函数得ln（x+1）≤（a+2）x+b-2.此不等式恒成立的几何意义是：当x＞-1时，曲线C：y=ln（x+1）恒在直线l：y=（a+2）x+b-2的下方或与直线只有一个公共点，图像如图1所示，由图知直线斜率a+2＞0.

图1

设直线l′是与直线l的斜率相同且与曲线C相切于点P（t，ln（t+1））的直线，因为，所以曲线在点P处切线的斜率为，所以切线l′的方程为，即y=

因为g′（t）=ln（t+1）-1，令g′（t）=0，得t=e-1，当-1＜t＜e-1时，g′（t）＜0；当t＞e-1时，g′（t）＞0.所以g（t）min=g（e-1）= 1-e，即g（t）≥1-e，所以故的最小值为1-e，此时，所以

分离函数，数形结合，平移直线与曲线相切，用不等式放缩将双参数最值问题转化为以切点横坐标为单参数的最值问题，解法充分展示了化归转化思想和数形结合思想的无穷魅力.

总之，解决双参数问题的方法远不止以上几种，只要我们抓住双参数的相互关联性，在教学中善于发现、总结，善于思考，以达到做一题，会一片，通一类的功效.F